確率・統計の問題について教えて下さい！

問題）
学生25人の試験の点数 X1,X2,...X25 は独立で、それぞれ正規分布N(50,10^2）に従うとする。

問1）
X1 が60点以上である確率を求めよ　（小数第4位まで）


問２）

標本平均 Xバー= (X1+X2...X25)/25 が51点以上である確率を求めよ　（小数第4位まで）



という問題なのですが、このような確率を計算する方法が全く分かりません…
このような問題の解き方が分かる方がいましたら教えていただきたいです。

よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/03 21:15

正規分布 N(50,10^2）の意味することが分かっているのですか？

「平均が 50、標準偏差が 10」の正規分布ということです。
（世にいう「偏差値」と同じ定義ですね）

「正規分布」などの「分布」って、「確率分布」だということは分かっていますか？
全体の度数の合計を「１」とすれば、それぞれの「度数」は「確率」になります。

正規分布の確率は、「標準正規分布表」というものを参照して読取ります。
（もちろん、きちんと理解していれば「エクセル」などの関数を使って計算もできますが）
「標準正規分布表」とは N(0, 1^2) のことですから、元の確率変数 X から
　Z = (X - μ)/σ
　（μ：平均、σ：標準偏差）
で変換できます。

＞問1）
＞X1 が60点以上である確率を求めよ

「60点」とは、「標準偏差」を「σ」と書いて
　平均 + 1σ
ということです。

これを標準正規分布に変換すれば
　Z1 = (X1 - 50)/10 = (60 - 50)/10 = 1

下記の標準正規分布表から
　P(60≦X) = P(1≦Z) = 0.158655 ≒ 0.1587

↓　標準正規分布表
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html


＞問２）
＞
＞標本平均 Xバー= (X1+X2...X25)/25 が51点以上である確率を求めよ　（小数第4位まで）

「変な問題」かつ「愚問」ですね。
おそらく言わんとすることは、
「無数の25人のクラス」が存在すると仮定して、その無数のクラスのうち平均が「51点」以上にある確率は？
ということなのでしょうね。
もしくは「その25人のクラスで、極めて多数回の試験を実施した」と仮定するとか。

そういうものを計算させたいなら「学生25人の試験の点数」などという「１つのサンプルしか存在しないような事例を使うべきではないでしょう。
もう少し、問題に適した「題材」「具体例」を探すべきでしょうね。

答は、「１人１人」の点数は「平均が 50、標準偏差が 10」の正規分布に従うが、これを「25人分もって来て平均すると、平均より大きい人、小さい人が混在して平均化されるので、「平均」まわりにばらつきが小さくなって行く」ということです。
「50人」「100人」「1000人」など、大人数のクラスにすればするほど、「ばらつき」は小さくなります。
よく、実験などで、１回では誤差が大きいので、「多数回測定して平均する」ことをやるのと同じです。
この「ばらつき」は、サンプルサイズ（この場合にはクラスの人数）を N とすると、ばらつきは 1/√N になります。

ということで、N=25 なら、標準偏差は
　10/√25 = 10/5 = 2
になります。

ということで、「25人の平均点」の分布は、正規分布 N(50, 2^2) に従うことになります。

「平均点が51点以上」というのは
　Z2 = (51 - 50)/2 = 0.5
ですから
　P(51≦Xbar) = P(0.5≦Z2) = 0.308538 ≒ 0.3085

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました！
私自身でも問題を解いてみたいと思います。

お礼日時：2021/06/03 23:00

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/03 17:40

試験の点数が正規分布に従う？

正気でしょうか。
その問題を作った者は、確率分布とは何か全く理解していません。
そのような認識で、統計処理技法の計算手順だけを暗記して
統計的考察をしたような気分になることは、極めて危険です。
なっちょらん。