標準偏差と平均偏差の違い

標準偏差と平均偏差は、数字としての意味は何が違うのでしょうか。（算出方法の違いなどは分かります）
換言すれば、平均偏差でもサンプルのばらつきが表現できるのに、わざわざ計算過程をややこしくして標準偏差を求めることにどのようなメリットがあるのかということです。

『数種類の検体を用いて同一行程の実験を行い、その結果の値の揺れ（ばらつき）を求めたい』

このレポートへのアプローチとして、平均偏差または標準偏差を利用するとき、両者が意味的にどのような違いをもつのか、ご教授ください。

No.4 ベストアンサー 回答者： Ideasforlife 回答日時： 2005/02/28 10:46

ばらつきの大きさを比較したいなら、どちらでも同じでしょう。

違いを考えるには、平均とは何か？ということが鍵になります。サンプルの平均は　m=(x1+...+xn)÷n で求めるのが通例ですが、なぜこうするのがよいか？を考えてみてください。

実は、このようにして求める平均は、標準偏差の2乗和を最小にします。
では、平均偏差を最小にするような値を計算してみましょう。つまり、
　 J= |x1-μ|+...+|xn-μ| を最小にするμを求めるわけです。
例えば、データが（1,1,1,0,-3)だったとします。
m=0 となりますが、(2)式を最小にする値は、0ではありませんね。
一方で，標準偏差の2乗和
　V= (x1-μ)^2+...+(xn-μ)^2
を最小にするμはVをμで微分して＝０と置いて、とけば
　μ＝m であることがわかります。
平均偏差を最小にする値は中央値ですので、そこが違うということになるわけです。

No.3 回答者： cyoki_par 回答日時： 2005/02/28 09:03

普通は、誤差は正規分布に従うと考えられます。

単にバラツキを見るだけなら、どちらでもよいでしょうが、そのばらつきから何かを推定しようとする場合は、標準偏差の方が良いと思います。
　つまり、ｘもｙも測定値に誤差が考えられるという場合は、標準偏差を用います。

No.2 回答者： DoragonFang 回答日時： 2005/02/28 01:15

ANo.1の方がおっしゃっているように、扱いの差が違うようです。

平均偏差の方が数字的には実感があるですが、絶対値をとるので、数学的に扱いづらい。
標準偏差は２乗するために、プラス・マイナスを考えなくてもよいので、その後の計算がしやすいということでした。
一見２乗する方が計算が面倒だと思えますが、プラス・マイナスのベクトルを考えなくてよいということがその後の展開を楽にしています。

そのため、実験計画法や正規分布など標準偏差（あるいはその２乗の分散）を使ったモデルが確立されています。

質問内容によれば、実験におけるバラツキについて調べるとか。
単純にバラツキだけを見るなら平均偏差で十分だと思いますが、実験計画法や平均値の差、予測などを行うなら、すでに理論のある標準偏差の方がいいと思います。

No.1 回答者： liar_adan 回答日時： 2005/02/27 21:37

私も同じ疑問を持って、教授に質問したことがあります。

すると、
「平均偏差も意味があるのだが、数学的には標準偏差の方が扱いやすい」
とのことでした。

平均偏差だと、サンプルから計算するとき、
絶対値計算をしなければなりません。
これは本質的に場合分けをしなければならず、
そういった計算方法は解析的には扱いづらい。
標準偏差は、2乗計算があって一見複雑だけど、
場合分けの手間がないので解析的には扱いやすい。
と、どこまで先生が言った言葉か忘れたけど、
たしかそういうことだったと思います。