ヘッセ行列について質問です。数学得意な方お願いします。
利潤関数f=20000L^0.4k^0.4-1000L-2000Kという式がある。
ヘッセ行列を用いて(1)で求めた労働量と資本量のもとで利潤は極大、極小いずれかを実現しているかについて説明せよ。と言う問題があるのですが、
(1)は利潤が極地を持つための一階の条件を満たす、労働と資本の量を求めよ。と言う問題で労働量L、資本量Kそれぞれについて偏微分をした式が
∂f/∂L=8000L^-0.6K^0.4-1000=0
∂f/∂K= 8000L^-0.4K^-0.6-2000=0
これを連立方程式で解いて
K=4096 L=8192になりました。
ここから(2)をどうやって解くのかを教えてほしいです。
数学が得意な方にお聞きしたいです。お願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(2)って何やねん。
(1)で求めた臨界点が極値であるかどうか判定しろ
ってことなんだろうけど... 普通の日本語で書けない?
>ヘッセ行列を用いて
って問題文に書かれてあるようだから、それに従う。
テイラー展開を考えると、臨界点(勾配が零ベクトルになる点)
では、f はヘッセ行列を係数とする2次形式で2次近似される。
2次形式が極大か極小か極値でないかは、係数行列の
固有値の正負を見れば判る。
質問の f は
∂²f/∂L² = -4800(L^-1.6)(K^0.4),
∂²f/∂L∂K = 3200(L^-0.6)(K^-0.6),
∂²f/∂K² = -4800(L^-0.4)(K^-1.6)
だから、 (K, L) = (4096, 8192) でのヘッセ行列 H は
-75/256 25/256
25/256 -75/1024.
固有値の正負は (1024/25)H で考えても同じだから、
-12 4
4 -3
の固有値を求める。
固有方程式 (-12-λ)(-3-λ) - 4・4 = 0 を解いて、
λ = (-15±√145)/2.
これが両方とも負だから、
(K, L) = (4096, 8192) で f は極大値となる。
No.4
- 回答日時:
> (1024/25)はどうやって出てきたんでしょうか?
固有値の計算が楽になるように、
各成分の共通因子を適当に括りだしただけです。
アレは、やらなくてもかまいません。
H の固有方程式 (-75/256-λ)(-75/1024-λ) - (25/256)(25/256) = 0
を直接解いて、解が両方とも負数であることを示せば十分です。
ありがとうございます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/12433531.html
この問題が分からなくて困っています。わかりますでしょうか?
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