線形代数 行列 固有値 正規直行基底 a=4 0 2 0 0 2 0 -1 2 0 1 0 0 -1

線形代数　行列　固有値　正規直行基底

a=4 0 2 0
0 2 0 -1
2 0 1 0
0 -1 0 2

aの固有ベクトルのみからなるR^4の正規直行基底を一組求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/26 14:56

a の固有値 0,1,3,5 に対する

各固有ベクトル
(1,0,-2,0),
(0,1,0,1),
(0,1,0,-1),
(2,0,1,0)
は、いつものように計算すれば
すぐ見つかりますね。
それぞれ正規化して、
(1/√5, 0, -2/√5, 0),
(0, 1/√2, 0, 1/√2),
(0, 1/√2, 0, -1/√2),
(2/√5, 0, 1/√5, 0).

行列の固有ベクトルが直交基底をなすとは限りませんが、
今回の a は対称行列なので、
固有ベクトルが直交基底をなします。