代数的整数からなる数列の極限が超越数になることはありますか？ あるなら具体例を、ないならその証明をお

代数的整数からなる数列の極限が超越数になることはありますか？
あるなら具体例を、ないならその証明をお願いします。

No.1 回答者： adh 回答日時： 2021/08/26 14:11

代数的数どころか、任意の実数は有理数列の極限として表せます

例えば3,3.1,3.14…の極限がπになる、など

この回答へのお礼

3.14 って代数的整数なのですか？

お礼日時：2021/08/26 14:25

No.2 回答者： adh 回答日時： 2021/08/26 14:36

すみません。

代数的整数を代数的数と見間違えていました。もちろん有理数かつ代数的整数となるのは整数だけですので、自分が挙げたものは例になりません。
元の質問については、自分はよく分かりません。

この回答へのお礼

考えていただき、ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/26 14:39

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/26 15:35

こんなのはいかが？

e^x = Σ[k=0→∞] (1/k！)x^k は有名ですね。
右辺を有限次打ち切った多項式を使って、
Σ[k=0...n] (1/k！)x^k = 2 の根のひとつを x_n として
数列 { x_n | n は自然数 } を作ります。
Σ[k=0...n] (1/k！)x^k = 2 の両辺を n！ 倍すると
Σ[k=0...n] (n！/k！)x^k = 2n！ ですが、
この方程式は、最高次の係数が n！/ｎ！ = 1 で、
他の係数はみな整数です。
つまり、 x_n は代数的整数です。
n→∞ の極限をとると
e^(x_∞) = 2 となり、 x_∞ = log 2.
log 2 は、超越数ですね？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
深く納得いたしました。

お礼日時：2021/08/26 18:28