nを自然数、iを虚数単位とします。あるトンデモ回答者が、以下の式変形が正しいと言い張っていて、困っ

Question

nを自然数、iを虚数単位とします。
あるトンデモ回答者が、以下の式変形が正しいと言い張っていて、困っています。

(1+i/n)^n = ((1+i/n)^(n/i))^i

このような変形は、果たして本当に可能なのでしょうか？
複素数の指数に詳しい方がいらしたら、是非教えて下さい。

別に他の虚数でもかまいません。
ωを1の原始3乗根として

(1+ω/n)^n = ((1+ω/n)^(n/ω))^ω

なんてことが許されるのでしょうか？

endlessriver · Accepted Answer

主値を取るなら　 ((1+ω/n)^(n/ω))^ω　で議論することが変。
あくまでも、z^a ⇔ e^(aLog z) で議論するべきと思う。
つまり
　(1+ω/n)^(n/ω) ⇔ e^{(n/ω)Log(1+ω/n)}
　{(1+ω/n)^(n/ω)}^ω) ⇔ e^[ωLog e^{(n/ω)Log(1+ω/n)}]
です。

つまり、Im((n/α) Log(1+α/n))∈(-π,π]　であるか、確かめるもので
はなく、Log e^{(n/ω)Log(1+ω/n)} として、主値の範囲に決める
ものと思います。

さらに、こんな事をするまでもなく、 syotaoさんのように
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12558250.html

(1+ω/n)^n=e^{nLog(1+ω/n)}
で完了しているものと考えます。

ありものがたり · Answer

＞ (1^2)' は書くんですか？

書かないよ。 君は f’(1) は書かないのか？
もう、こんなことはいいかげんにしなさい。
無駄な応答が多くなれば、
君が回答を理解できずに煽り続けていたことが
埋もれて目立たなくなると思っているのかもしれないが。

ありものがたり · Answer

←No.8 補足
いろいろと常識が足りないところがあるようだね。

＞ ただの複素平面の話で、複素変数xについてx→∞なんて書くことあるんですか？

x が複素変数のとき、 x→+∞ や x→-∞ はアリエナイが、
x→∞ は普通に使う。 複素平面をリーマン球面に拡張して考えるのだが、
慣れなければ、｜x｜→∞ の略記だと思ってもいい。

＞ >= exp log’(1)
＞ >= exp １
＞ これにはたまげました。
＞ log(1)(=定数)を微分すると0になるのでは…？

これは、流石に論外。 f’(1) くらい見たことがあるでしょう。
f’(1) は定数 f(1) を微分して 0 ですか？ 馬鹿いうんじゃないよ。

回答が杜撰なんじゃなくて、やはり君に読む能力が無かっただけか。
上記のようなことを言ってるようでは、中高の教科書以外のものを
読むのは難しかろうと思うが。

結局、最後まで、ただはぐらかすだけで
No.6 No.5 のどこが間違いだと思うのか指摘できずに終わりか。
まあ、そうだろうとは思っていたけどね。

ありものがたり · Answer

＞ そもそもあなたは複素数 x が |x|→∞ のとき
＞ (1 + 1/x)^x→e であることをどうやって示したんですか？

それの証明は、更に前
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12558250.html の
No.５ に書いた。
読んでないか、読んでも解らなかったんだろうけど。
No.5 への「お礼」欄も、実に無内容だった。
再録しようか？

＞ はぐらかすのはやめて下さい。
＞ なぜあなたには改善というものが見られないのですか？
＞ いつものことながら煽り続けるだけで、
＞ 質問者の疑問の解決につながることが何一つありゃしない。
＞
＞ その変形が問題ないのはあなたの頭の中だけでの話です。
＞ 教科書で指数法則を勉強し直して下さい。

どうやって示したかに目を通していれば、
多少はマシな反論が書けていたことだろう。

＞ ここでも分かりやすく間違いを指摘しているのに

へー、どこに？

Tacosan · Answer

特に「取り消す」必要はないと思う＞#5. つまるところ, 「べき乗」の定義に依存するって話だから. あえていうなら「べき乗の定義を明確にしてから書けば完璧」というくらい.

で
Im((n/α) Log(1+α/n))∈(-π,π]
については... まあ, まじめに計算するだけだよ. α = a+ib (a と b は実数で同時には 0 でない) とおいたうえで n も適切な範囲の実数としてやっていけば高校数学の範囲でいける.

もう 1つの方は「この質問」とは無関係だね.

あとついでにいうと「どこがどう間違ってると思うのか指摘できなかった」という指摘はちょっと甘やかしすぎではないかと＞#6. 「どこがどう間違っているのか指摘できなかった」というべきでは. もっとも, 「6×6×2」や「6×4」の意味を書けなかったという事実を考えると, ねぇ....

ありものがたり · Answer

トンデモ回答者登場。
ははは... 今日の敵を明後日で取ろうとしているね？

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12558250.html の
No.6 の証明に対して、「さすがに無茶苦茶すぎます。
もしかして、ご自分でも間違っていると分かっているのに、意地を張ってませんか？」
とだけ切り返して、どこがどう間違ってると思うのか指摘できなかったね。
今回、No.2 には答えられるの？

とりあえず、 No.4 No.5 は賛成意見のようだけど。

mtrajcp · Answer

#3を取り消します
#4の方が正しいです

Tacosan · Answer

べき乗を指数関数と主値対数関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4#%E5%AF%BE%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
を使って定義するなら, 任意の正整数 n に対して
(1+i/n)^n = [(1+i/n)^(n/i)]^i
が成り立つ. もっといえばその場合任意の (0 でない) 複素数 α と十分大きな全ての正整数 n に対して
(1+α/n)^n = [(1+α/n)^(n/α)]^α
がいえる.

mtrajcp · Answer

{(1+i/n)^(n/i)}^i
=(e^{(n/i)log(1+i/n)})^i
=(e^{(n/i)log(1+i/n)+2πmi})^i
=e^{(in/i)log(1+i/n)+2πmii}
=e^{n log(1+i/n)-2πm}
=e^{log(1+i/n)^n}e^{-2πm}
={(1+i/n)^n}e^(-2πm)
≠(1+i/n)^n
∴
(1+i/n)^n = ((1+i/n)^(n/i))^iのような変形は不可能と思います

Tacosan · Answer

「トンデモ回答者」が「トンデモ」であることくらい, 自分で示せよ.

nを自然数、iを虚数単位とします。 あるトンデモ回答者が、以下の式変形が正しいと言い張っていて、困っ

主値を取るなら ((1+ω/n)^(n/ω))^ω で議論することが変。

＞ (1^2)' は書くんですか？

←No.8 補足

＞ そもそもあなたは複素数 x が |x|→∞ のとき

特に「取り消す」必要はないと思う＞#5. つまるところ, 「べき乗」の定義に依存するって話だから. あえていうなら「べき乗の定義を明確にしてから書けば完璧」というくらい.

トンデモ回答者登場。

#3を取り消します

べき乗を指数関数と主値対数関数

{(1+i/n)^(n/i)}^i

「トンデモ回答者」が「トンデモ」であることくらい, 自分で示せよ.

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