整数

最大公約数が3、最小公倍数が210、和が51である2つの自然数を求めよ。

求め方を教えて下さい！

No.3 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2021/10/09 21:11

初めに、2つの自然数の積は (最小公倍数)x(最大公約数) です。

「最大公約数が3、最小公倍数が210、和が51」
問題の数字は 全部3 の倍数ですから 3で割ります。
問題は「最小公倍数が 70、和が17 で 互いに素である 2つの自然数」→
「2つの自然数の積が 70、和が 17 」となります。
求める 自然数を a, b とすると、
ab=70, a+b=17 で、b=17-a 前の式に代入して
a(17-a)=70 → a²-17a+70=0 たすき掛けで 因数分解。
(a-10)(a-7)=0 →　a=10, 7 。
b=17-a から ｂ=7、10 。
つまり a, b は 7 と 10 。
初めに 3で割って計算しているので 3を掛けて、
求める自然数は 21 と 30 。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/09 19:59

最大公約数が 3 である ２つの自然数は、

3a, 3b (a,bは互いに素な自然数) と置けます。
この 2数の最小公倍数は 3ab = 210、
和は 3a + 3b = 51 です。

a+b = 17, ab = 70 と整理できるので、
2次方程式の解と係数の関係より
a, b は x² - 17x + 70 = 0 の解であり、
a, b = 7, 10 と判ります。

よって、もとの 2数は 3a, 3b = 21, 30 です。

No.1 回答者： mygoonickname 回答日時： 2021/10/09 17:02

こんばんは。

最大公約数が3　→　両方とも３で割り切れる数　→　３の倍数
最小公倍数が210　→　2*3*5*7　の組み合わせの数字

a:2*3*？
b:3*？

a+bが51なので、
aが6だと、bは45　（2*3　と　5と7が残る、これは×）
aが30だと、bは21　（2*3*5　と　3*7、これは○）
aが42だと、bは9　　（2*3*7　と　3と5が残る、これは×）

上記から、30と21となる。（解き方がスムーズでないですが。）