fのr階偏導関数が全て存在して連続ならば(r-1)階導関数は全て存在して連続ですか？

fのr階偏導関数が全て存在して連続ならば(r-1)階導関数は全て存在して連続ですか？

質問者からの補足コメント

• 連続性は言えますか？

    補足日時：2021/12/06 10:13

• f(x、y) = xy/(x^2+y^2)
  これは、原点で偏微分可能ですが不連続です。

    補足日時：2021/12/06 11:05

• 間違えました。
  
  f(x、y) = xy/(x^2+y^2),(x,y)≠(0,0),
  f(x,y)=0,(x,y)=(0,0)
  これは、原点で偏微分可能ですが不連続です。

    補足日時：2021/12/06 11:14

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/06 16:41

訂正します

fのr階偏導関数が全て存在して連続ならば
fはr階全微分可能だから
(r-1)階導関数は全て存在して連続です
-------------------------------
z=f(x,y)
に対して
ある領域においてz_x,z_yが存在して連続とする

Δz
=f(x+h,y+k)-f(x,y)
={f(x+h,y+k)-f(x,y+k)}+{f(x,y+k)-f(x,y)}

xに関して平均値の定理を適用すれば
f(x+h,y+k)-f(x,y+k)=hf_x(x+θh,y+k)
となる0<θ<1が存在する
仮定によってz_x=f_xは連続だから
f_x(x+θh,y+k)=f_x(x,y)+ε
と置けばh→0,k→0の時ε→0
次にyに関する偏微分が可能だから
f(x,y+k)-f(x,y)}=kf_y(x,y)+ε'k
と置けばk→0,の時ε'→0
∴
Δz=hf_x(x,y)+kf_y(x,y)+hε+kε'
|h|≦ρ,|k|≦ρ,(ρ=√(h^2+k^2)),
従って|hε+kε'|≦(|ε|+|ε'|)ρだから

Δz=hf_x(x,y)+kf_y(x,y)+oρ

すなわち
z=f(x,y)は(全)微分可能である
だから
z=f(x,y)は連続である

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/12/06 17:14

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/06 11:12

f(x,y)=xy/(x^2+y^2)

は
原点で定義できていないので
原点で
偏微分不可能です

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/06 11:01

(r-1)階偏導関数が

連続でなければ偏微分不可能だから
偏微分可能であるためには連続でなければならない

fの(r-1)階偏導関数を1階偏微分したものがr階偏導関数というのだから
(r-1)階偏導関数が存在しなければr階偏導関数は存在しない

(r-1)階偏導関数が連続でなければ偏微分不可能だからr階偏導関数は存在しない

r階偏導関数が存在するためには(r-1)階偏導関数が連続で偏微分可能でなければならない

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/06 06:05

fの(r-1)階偏導関数を1階偏微分したものがr階偏導関数というのだから

(r-1)階偏導関数が存在しなければr階偏導関数は存在しない
(r-1)階偏導関数が連続でなければ偏微分不可能だからr階偏導関数は存在しない
r階偏導関数が存在するためには(r-1)階偏導関数が偏微分可能でなければならない