微分積分の質問です。 (4)をどうやって変数変換すれば解きやすいか分かりません。 極形式にしてもあま

微分積分の質問です。
(4)をどうやって変数変換すれば解きやすいか分かりません。
極形式にしてもあまりきれいになりませんでした。
計算はできるので、変数変換をどうやれば上手くいくかだけ教えて欲しいです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/22 20:07

1.

Dは y=x , x+y=1 , x=0 の３つの直線で囲まれた３角形。
　u=x+y , v=y-x
と変換すると

y=x の線は v=0
x+y=1 は u=1
x=0は u=y=v
の３つの直線で囲まれた３角形になる(これを D'とする)。

２．
すると
　x²+y²=(u²+v²)/2 , y²-x²=(y+x)(y-x)=uv
　x=(u-v)/2 , y=(u+v)/2
だから
　|J|=(1/2)(1/2)-(-1/2)(1/2)=1/2

3.
D'の積分は uを決めて、v=0～uまでの積分を u=0～1まで積分。

　A=∫[D] (y²-x²)exp(x²+y²)dxdy=∫[D'] uv exp((u²+v²)/2) dudv/2
　　=∫[u=0,1] {∫[v=0,u] uv exp((u²+v²)/2) dv/2 } du
　　=∫[u=0,1] u exp(u²/2) {∫[v=0,u] v exp(v²/2) dv/2 } du
ここで
　B=∫[v=0,u] v exp(v²/2) dv/2
とすると、v²/2=w と置いて
　B=∫[w=0,u²/2] exp(w) dw/2=(1/2)[ exp(w) ][u²/2,0]
　　=(1/2)(exp(u²/2)-1)
となり、Aの積分に戻すと

　A=∫[u=0,1] u exp(u²/2) (1/2)(exp(u²/2)-1) du
　　=(1/2)∫[u=0,1] u { exp(u²) - exp(u²/2) } du

　　=(1/2) [ { (1/2)exp(u²) - exp(u²/2) } ][1,0]
　　=(1/2) [ { (1/2)e - exp(1/2) } - {1/2-1} ]
　　=(1/2) (e/2-(√e)+1/2)