質問が四つあります。 一つ目、 {1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/

質問が四つあります。
一つ目、

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)
において、
1/(z+1)
を
n+1回zで微分して
lim_{z→1}
として
{1/(n+1)!}
をかけると

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}の式から-1/(-2)^(n+2)が導けると教えて頂いたのですが、
申し訳ないのですがいまいち理解できませんでした。
どうかもう少し詳しく{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}から-1/(-2)^(n+2)になるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

二つ目、
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式からa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となるまでの過程の計算をもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
多分、nをn+1と置き換えたりして導いたと思うのですが。


三つ目、
「ii)
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

n≦-2の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=-1で1位の極をもつから

a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
=1/(-2)^(n+2)」
において、
zが限りなく-1になるため
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz...③の(z+1)は0ではないが消えて
lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)となったと思うのですが、
③の{1/(2πi)}はなぜ消えたのでしょうか？
また、導かれた式に含まれるlim_{z→-1}はどこから来たのでしょうか？

四つ目
「
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
」において、
f(z)/(z-a)^(n+1)から1/{(z+1)(z-1)^(n+2)になるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• b(k)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{g(z)/(z+1)^(k+1)}dz
  と式は画像のanの式を元に作ったとわかりました。

  
    補足日時：2022/01/24 05:52

• 度々すいません。
  
  (留数計算定理1)
  g(z)がz=cで1位の極をもつとき,
  Res(g(z),c)=lim_{z→c}(z-c)g(z)
  が成り立つ
  
  に関して、なぜf(z)ではなくg(z)なのでしょうか？
  g(z)とする理由とg(z)を作った理由を教えてください。
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/01/26 18:51

• すいません。
  
  Res(g(z),c)=lim_{z→c}(z-c)g(z)
  が成り立つ
  に関して、なぜf(z)ではなくg(z)となる理由、
  また
  g(z)とする理由とg(z)を作った理由がいまいちわかりませんでした。
  申し訳ないのですが、詳しく理由を教えて頂けないでしょうか？

    補足日時：2022/01/27 12:49

• ありがとうございます。
  
  なるほど。
  k=n+1として、
  以前頂いた質問の画像より赤い下線部のようにanの式を導いたためf(z)だけではなく、f(z)に(z-c)^kを付けなければならないとわかりました。
  
  
  また、もう一つのa(n)={1/(2πi)}∳_{γ}{f(z)/(z-c)^(n+1)}dzの式に関しても
  k=-n-1として、
  f(z)に(z-c)^kを付けなければならないとわかりました。

  
    補足日時：2022/01/28 00:31

• ありがとうございます。
  あの、私が勘違いしてしまっているかもしれないですが、以前f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^n
  から
  a(n)={1/(2πi)}∳_{γ}{f(z)/(z-c)^(n+1)}dzは導けないため画像のanの式しか導けないと聞いたのですが、
  もし違うとしたら画像の式はどうやって導いたのでしょうか？

  
    補足日時：2022/01/28 14:25

• ありがとうございます。
  なるほど、ローラン展開の公式から(範囲に依存するが)どちらの式も作れるとわかりました。
  
  ちなみに、以前も解答して頂いたと思うのですが、「f(z)=1/(z^2-1)を2<|z-1|で展開する場合は
  a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-1)^k}」が成り立たたない(導けない)のは、
  2<|z-1|より、zには明らかに4以上しか入らないためlim_{z→1}が成り立たないためでしょうか？
  
  また、再びで申し訳ないのですが、
  f(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-c)^n
  から
  a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}を導くまでを先程頂いた画像のように教えて頂けないでしょうか。

  
    補足日時：2022/01/28 20:27

• 今更ですが(1)に関して
  「
  g(z)=1/(z+1)とする
  ↓微分する(1回目)
  g'(z)=-1/(z+1)^2
  ↓微分する(2回目)
  
  g""'(z)=-5!/(z+1)^6
  ↓微分する
  
  g"""(z)=6!/(z+1)^7
  …
  (d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
  
  (d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
  
  k=n+1とすると」
  より、なぜk=n+1としたのでしょうか？

    補足日時：2022/02/02 02:23

• また、(2)において、
  「二つ目、
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式からa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となるまでの過程の計算をもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
  多分、nをn+1と置き換えたりして導いたと思うのですが。」
  f(z)=1/z^2-1であり、n=n+1、k=1と置いた場合にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式からa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}と導けました。
  ですが、(1)ではkはn+1としましたが、(2)ではkは1としましたが、(2)でkを1と置いたのは正しかったでしょうか？

    補足日時：2022/02/02 02:27

• もう一つ申し訳ありません。
  
  f(z)=1/(z+1)(z-1)かつk=n+1とした場合、
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}...①の式にf(z)=1/(z+1)(z-1)かつk=n+1を代入した際に
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}...②
  と導けないです。

    補足日時：2022/02/02 16:08

• そして、
  「a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
  となる
  m=n-kとすると
  m≧-k
  m+k=nだから
  a(m)=(1/(m+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){f(z)(z-c)^k}
  mをnに置き換えると」に関して、
  mをnに置き換えるという事は
  m=nという事であり、kはn+1でありましたが、
  nが-1となりkは0という事でしょうか？
  
  f(z)=1/(z+1)(z-1)かつk=n+1とするとどうしても
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式から
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}が導けません。

    補足日時：2022/02/02 16:34

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/21 20:03

g(z)=1/(z+1)

g'(z)=-1/(z+1)^2
g"(z)=2/(z+1)^3
g"'(z)=-3!/(z+1)^4
g""(z)=4!/(z+1)^5
g""'(z)=-5!/(z+1)^6
g"""(z)=6!/(z+1)^7
…
(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

k=n+1とすると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=lim_{z→1}(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/2^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{-1/(-2)^(n+2)}

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}={-1/(-2)^(n+2)}


a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
で
zは-1に近づくことはありません
zは
中心1半径rの円周|z-1|=r>2　を1周するだけです
分母(z+1)は0になることはありません
だから
|z-1|=r>2で積分可能なのです

a=1だから
1/(z-a)^(n+1)=1/(z-1)^(n+1)

f(z)=1/(z^2-1)=1/{(z+1)(z-1)}

両辺に1/(z-1)^(n+1)をかけると

f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

この回答へのお礼

ありがとうございます。
こちらの回答は四つ目の質問に対する回答でしょうか？
出来れば一〜三問目に関する質問に答えて頂けるとありがたいです。

お礼日時：2022/01/21 21:30

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/01/22 01:33

「一つ目」は, 具体的にはどこで「いまいち理解できませんでした」なの? なにが理解できない?

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/22 04:03

(1)

g(z)=1/(z+1)とする
↓微分する(1回目)
g'(z)=-1/(z+1)^2
↓微分する(2回目)
g"(z)=2/(z+1)^3
↓微分する
g"'(z)=-3!/(z+1)^4
↓微分する
g""(z)=4!/(z+1)^5
↓微分する
g""'(z)=-5!/(z+1)^6
↓微分する

g"""(z)=6!/(z+1)^7
…
(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

k=n+1とすると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=lim_{z→1}(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/2^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{-1/(-2)^(n+2)}

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)

この回答へのお礼

(1)に関する解答ありがとうございます。
最初に頂いた解答は(1)と(4)に関する解答でしょうか？
仮に違う場合は、出来ればどの部分が(2)と(3)と表しているのか書いていただけるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/01/22 04:19

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/22 15:58

(2)

f(z)が具体的に何か指定しなければ
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となりません

f(z)
が
(自然数kに対して)
z=cでk位の極を持つ時
0<|z-c|<R でf(z)が正則の時
f(z)
は
0<|z-c|<Rでのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(x-c)^n
となり
整数n≧0に対して
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
となる
m=n-kとすると
m≧-k
m+k=nだから
a(m)=(1/(m+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){f(z)(z-c)^k}
mをnに置き換えると
n≧-k
a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}

f(z)が具体的に何か指定しなければ
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}となりません

(3)
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
で
zは-1に近づくことはありません
zは
中心1半径rの円周|z-1|=r>2　を1周するだけです
分母(z+1)は0になることはありません
分母(z+1)が消えたのではありません
分母(z+1)が消えて
lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)となったのではありません

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
n≦-2の時
g(z)はz=-1で1位の極をもつから
留数定理から

{1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}g(z)dz=Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz

{1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}g(z)dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz
となるのです
左辺のzは中心1半径rの円周|z-1|=r>2上の点を動き
右辺のzは中心-1半径sの円周|z+1|=s>0上の点を動く全く別のものなのです

留数の公式から

Res(g(z),-1)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
となるのです
左辺のzは中心-1半径sの円周|z+1|=s>0上の点を動き
右辺のzは-1へ近づき全く別のものなのです
左辺と右辺の計算の方法は異なるのだけれども
留数の公式から左辺と右辺の計算結果は等しくなるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
(3)のlim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)の右辺において、左辺の{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dzはどうやって消えたのでしょうか？

お礼日時：2022/01/23 03:49

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/23 09:17

{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dzは消えたのではありません

g(z)が0<|z+1|<rで正則であるとき,0<s<rであるsに対して

{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz

をz=-1における留数といい

Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz

と定義する

留数の公式から
g(z)がz=-1で1位の極をもつときは

Res(g(z),-1)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)

が成り立つから

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は

z=-1で1位の極をもつから
留数の公式から

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)

が成り立つのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
正しく理解できたかわからないですが、

{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dzはローラン展開の公式であり、g(z)がz=-1で1位の極をもつときは

Res(g(z),-1)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)

が成り立つから

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
より

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)となるのですね！

お礼日時：2022/01/23 10:11

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/23 10:36

「

(留数の定義)
g(z)が0<|z-c|<rで正則であるとき,0<s<rであるsに対して
{1/(2πi)}∳_{|z-c|=s}g(z)dz
をz=cにおける留数といい
Res(g(z),c)={1/(2πi)}∳_{|z-c|=s}g(z)dz
と定義する
」
という
(留数の定義)から

Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz

「
(留数計算定理1)
g(z)がz=cで1位の極をもつとき,
Res(g(z),c)=lim_{z→c}(z-c)g(z)
が成り立つ
」
という
(留数計算定理1)から

Res(g(z),-1)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
が成り立つから

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
より

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
申し訳ないのですが、Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dzと
Res(g(z),-1)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)の式に関して、{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dzからlim_{z→-1}(z+1)g(z)となるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
どうしても{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dzが
lim_{z→-1}(z+1)g(z)と置ける理由がわからないのです。申し訳ありません。

お礼日時：2022/01/23 11:15

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/23 15:55

(留数計算定理2)

g(z)がz=cで1位の極をもつとき,
Res(g(z),c)=lim_{z→c}(z-c)g(z)
が成り立つ
事
の証明)

g(z)がz=cで1位の極をもつとき,
g(z)のローラン展開

g(z)=b(-1)/(z-c)+g1(z)

となる定数b(-1)と正則関数g1(z)が存在する

lim_{z→c}(z-c)g(z)=lim_{z→c}{b(-1)+(z-c)g1(z)}=b(-1)

「
(留数計算定理1)
g(z)が0<|z-c|<rで正則であるとき,
ローラン展開
g(z)=Σ_{n=-∞～∞}b(n)(z-c)^n
に対して
b(-1)=Res(g(z),c)
が成り立つ
」
から

Res(g(z),c)=lim_{z→c}(z-c)g(z)
が
成り立つ

この回答へのお礼

あの、すいません。
なぜ
g(z)はb(-1)/(z-c)+g1(z) と+を挟んだ形に置けるのでしょうか？また、
なぜlim_{z→c}(z-c)g(z)はlim_{z→c}{b(-1)+(z-c)g1(z)}と+を挟んだ形に置けるのでしょうか？

お礼日時：2022/01/24 05:58

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/23 19:50

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

は
z=-1で1位の極をもつから
g(z)のz=-1の周りでのローラン展開は

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k

b(k)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{g(z)/(z+1)^(k+1)}dz
となる
k=-1の時
b(-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz
(留数の定義)から
Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz
だから
b(-1)=Res(g(z),-1)…(1)

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k
↓g1(z)=Σ_{k=0～∞}b(k)(z+1)^kとすると
g(z)=b(-1)/(z+1)+g1(z)

lim_{z→-1}(z+1)g(z)=lim_{z→-1}{b(-1)+(z-c)g1(z)}=b(-1)
∴
lim_{z→-1}(z+1)g(z)=b(-1)
↓これと(1)から
Res(g(z),-1)=b(-1)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
∴
{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、
b(k)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{g(z)/(z+1)^(k+1)}dzの式はどのように作られたのでしょうか？

お礼日時：2022/01/24 05:49

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/23 19:55

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

は
z=-1で1位の極をもつから
g(z)のz=-1の周りでのローラン展開は

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k

b(k)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{g(z)/(z+1)^(k+1)}dz
となる
k=-1の時
b(-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz
(留数の定義)から
Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz
だから
b(-1)=Res(g(z),-1)…(1)

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k
↓g1(z)=Σ_{k=0～∞}b(k)(z+1)^kとすると
g(z)=b(-1)/(z+1)+g1(z)

lim_{z→-1}(z+1)g(z)=lim_{z→-1}{b(-1)+(z+1)g1(z)}=b(-1)
∴
lim_{z→-1}(z+1)g(z)=b(-1)
↓これと(1)から
Res(g(z),-1)=b(-1)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
∴
{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/24 06:21

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

は
z=-1で1位の極をもつから
g(z)のz=-1の周りでのローラン展開は

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z-c)^k
g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k

Σ_{k=-1～∞}b(k)(z-c)^k=b(-1)/(z-c)+Σ_{k=0～∞}b(k)(z-c)^k
だから

g(z)=b(-1)/(z-c)+Σ_{k=0～∞}b(k)(z-c)^k
g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{k=0～∞}b(k)(z+1)^k

↓g1(z)=Σ_{k=0～∞}b(k)(z-c)^k
↓g1(z)=Σ_{k=0～∞}b(k)(z+1)^kとすると

g(z)=b(-1)/(z-c)+g1(z)
g(z)=b(-1)/(z+1)+g1(z)

lim_{z→c}(z-c)g(z)
↓g(z)=b(-1)/(z-c)+g1(z)だから
=lim_{z→-1}{b(-1)+(z-c)g1(z)}
=b(-1)

lim_{z→-1}(z+1)g(z)=lim_{z→-1}{b(-1)+(z-c)g1(z)}=b(-1)
∴
lim_{z→-1}(z+1)g(z)=b(-1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今更で申し訳ないのですが、
Res(g(z),c)=lim_{z→c}(z-c)g(z)のlim_{z→c}(z-c)g(z)がどうやって導かれたか教えて頂けるでしょうか？

お礼日時：2022/01/24 09:39