(複素数) この問題で解法が思いつかなく、とりあえず二次方程式にそれぞれ解を代入して、それをαについ

(複素数)
この問題で解法が思いつかなく、とりあえず二次方程式にそれぞれ解を代入して、それをαについて整理したあと、それぞれの二次方程式の係数を比較して答えを出したら解答にあった解法とは違うのですが答えが一致しました。これは偶然なのでしょうか？それとも必然的に一致したのでしょうか。
その理由も教えていただけると助かります。

質問者からの補足コメント

• よろしくお願いします。

  
    補足日時：2022/02/03 11:34

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/02/03 23:06

係数比較、とおっしゃるのはもしかして、

　　α^2 - 2aα + b + 1 = 0 …(1)
　　(α+1)^2 - b(α+1) + 5a + 3 = 0
後者を展開して
　　α^2 + (2 - b)α + 5a - b + 4 = 0 …(2)
で、(1)(2)のαの係数を比較して、
　　- 2a = 2 - b …(3)
　　b + 1 = 5a - b + 4 …(4)
という連立方程式を立てた、ってことでしょうか。

　もし「(1)(2)がどんなαでも成り立つ恒等式」なら係数比較で文句ないわけですが、残念ながらこれはそうじゃない。だから単に「係数比較しました」という答案は通用しないでしょう。

　もう一段の考察が必要ですね。

　一般に、A, B, P, Q, R, Sが実数で、B≠0 だとして
　　α^2 + Pα + Q = 0　…(1')
　　α^2 + Rα + S = 0　…(2')
　　α = A + B i …(5)
だとすると、(1')と(2')を引き算すれば
　　(P - R)α+ Q - S = 0　…(6)
なので、(5)を代入すると(6)の実部と虚部はそれぞれ
　　(P - R)A + Q - S = 0　…(7)
　　(P - R)B i = 0　…(8)
ですが、B≠0なので(8)は
　　P = R　…(9)
である。これを(7)に代入すれば、Aが幾らだろうと
　　Q = S　…(10)
となる。
　あらら、この結果って「(1')と(2')のαの係数を比較した」のと一緒じゃん。

　…という仕掛け。(6)がαの一次式で、係数が実数で、しかもαの虚部が0ではない、ということがこの話が成立するポイントですね。
　ですから、「この場合はそういううまい条件が整ったために、たまたま、係数比較にそっくりになった」と思っておく方がいいでしょう。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/02/03 14:15

あなたの計算過程を 書いてくれると はっきりしますが、

解を代入して、係数比較で 間違いないと思いますよ。
答の出し方は 必ず複数通りあります。
どの方法でも 正しい理論で 正しい使い方ならば、
正しい答えが 出る筈です。

普通は a, b と α 等 間違い易い文字を 同時に使わない筈ですが、
変な問題ですね。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/03 13:50

まあ、理由としては

貴方のまとめた両式は2つともα^2の係数が１で一致している
この時点で両式の虚数成分は一致
かりにα^2の虚数部をＡとすると
α^1の虚数部がこのAを打ち消さない
等式右辺が=0にならない！
従って両式ともαの係数は一致しないといけない
そして、αのつかない項は　実数部分の合計を０になるように取らないといけない
無論両式でαのつかない部分も一致

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/03 12:59

今回は必然では

ただし記述には正しい理由も必要

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/03 12:26

＞a, b を実数とし

と
＞a を実数でない複素数とする
って、矛盾してませんか？

どっちかが「アルファ」なんですか？

こういう「紛らわしい問題」を作る出題者の方が問題だ。

＞それぞれの二次方程式の係数を比較して答えを出したら解答にあった解法とは違うのですが答えが一致しました。これは偶然なのでしょうか？それとも必然的に一致したのでしょうか。

正しいやり方で求めたのであれば、偶然ではなく必然でしょう。

「解答にあった解法」とは、「解と係数との関係」を使うやり方でしょうか。
p と q が解なら
　(x - p)(x - q) = 0
になるはずなので、これを展開した
　x^2 - (p + q)x + pq = 0
と与方程式の係数を比べて
　p + q = 2a
　pq = b + 1
ということを使っているのでしょう。

あるいは、二次方程式の一般解の公式を使っているか。

いずれにせよ、一方の解が「実数ではない複素数」であれば、もう一つの解はその「共役複素数」になります。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/02/03 12:25

取りあえず一般論。

基本的には問題の解き方は一つではありませんし、参考書等に載っている模範解答しか解法がないわけでもありません。なので考え方が合っているなら「模範解答と違う解法で同じ答え」なんてよくある当たり前の話です。