1周が9キロの遊歩道をA、Ｂの2人が同じ地点からAは時計回りに、Bは反時計回りに、8時ちょうどに歩き

1周が9キロの遊歩道をA、Ｂの2人が同じ地点からAは時計回りに、Bは反時計回りに、8時ちょうどに歩き始め、一周するまでの間、Aは休むことなく歩き、BはAと出会った地点で30分休み、Bは休憩を終えて再び反時計回りに歩きはじめてから1時間15分後に1周し終えた。A、Bは歩く速さは一定であり、Aは時速5キロの速さで歩いた時、Bが遊歩道を1周し終えた時刻は？

という問題で、正解は10時45分でした。

どのように解けば良いのか教えて頂きたいです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/25 00:49

数学の問題として解く前に、日本で書かれた条件をきちんと認識できていますか？

何を未知数にしてもよいですが、その未知数を使って与えられた条件をきちんとまとめます。

ここでは、Ａが歩き始めてからＢに出会った地点までの道のりを X [km] としましょう。
Ａの歩く速さは 5 km/h なので、Ｘ [km] を歩くのに要した時間は
　Ta = X/5 [h]

Ｂが歩き始めてからＡに出会うまでの道のりは
　9 - X [km]
なので、Ｂの歩く速さを Vb [km/h] とすると、Ａに出会うまでの時間は
　Tb = (9 - X)/Vb　　　　　①

Ta と Tb は等しいので
　X/5 = (9 - X)/Vb　　　　　②

また、ＢはＡに出会った後の X [km] を1時間15分 = 1.25 [h] で歩いたので
　Vb = X/1.25　　　　　③

これが、問題文に書かれている条件です。
あとはこれを解いていきます。

③を②に代入すれば
　X/5 = (9 - X)/(X/1.25)
　　　= 1.25(9 - X)/X
→　X^2 = 6.25(9 - X)
4倍して整理すれば
　4X^2 + 25X - 225 = 0
これを解けば
　X = [-25 ± √(625 + 3600)]/8
　　= [-25 ± √4225]/8
　　= [-25 ± 65]/8
X>0 なので
　X = [-25 + 65]/8 = 5 [km]

よって、Ｂの速さは、③より
　Vb = 5/1.25 = 4 [km/h]

ＢがＡに出会うまでの時間は、①より
　Tb = (9 - 5)/4 = 1 [h]

ここから 30分休んで、さらに１時間15分歩いたので、Ｂが一周に要した時間は
　1 [時間] + 30 [分] + 1時間15分 = 2時間45分

歩き始めたのが 8時なら、到着時刻は 10時45分。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2022/02/25 09:13

A、Bは歩く速さは一定であり、

とあるが、同じ速さと定義されていないので解はありません。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/02/25 09:24

問題で提示された関係を全て方程式にする。

というのが定跡です。
日本語から方程式を立てることができれば後は簡単です。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/02/28 16:30

[1] 最初に問題文をしっかり読み解くこと。

そして、遊歩道が周回路だということはこの問題では全然重要ではない。単に「長さ9kmの直線道路の両端からA, Bが、お互いに向かって同時に出発した」というのでも同じことだな、と気がつかなくちゃいけない。
　とりあえず図のようにダイヤグラムを描いてみると、どういう問題なのかがわかりやすくなります。（ダイヤグラムに馴染みがなければ→ https://oshiete.goo.ne.jp/qa/262584.html）赤はA、緑がBです。

[2] 「Bは出発してから何時間で道を歩き切ったか」ということがわかれば、問題は解決です。その時間をTとする。すると「TはAとBが出会ってから30分+1時間15分後」とわかる。つまり「A,Bが出発してから、AとBが出会うまでの時間」をtとし、1時間を単位にして書くと
　　T = (t + 1/2 + 5/4) [時間]
ってことです。かくて、tがいくらなのかが問題である。

[3] 「AとBが出会った場所がAの出発地点からどれだけ離れているか」をm[km]としましょう。
　Aの歩く速さは5[km/時間] だから、時刻tにAが居た場所はAの出発地点から
　　m = 5t [km]
の地点である。

[4] 時刻tにはBもこの場所にいたわけです。そして、この地点mに至るまでにBが歩いた距離は (9 - m) [km]。つまり、Bがこの地点まで歩いて来た速さは
　　(9 - 5t)/t [km/時間]
である。

[5] また、Bは残り5t [km]を歩くのに(5/4)[時間]掛かった。てことは、その速さは
　　 (5 t)/(5/4) [km/時間]
である。

[6] さて、Bの歩く速さは一定だというのだから、
　　(9 - 5t)/t = (5 t)/(5/4)
でなくてはならない。
　この方程式を整理しますと、
　　 4t^2 + 5t - 9 = 0
という二次方程式であることがわかります。これを解くと
　　t = ((-5±13)/8) [時間]
という二つの解が出るわけですが、もちろんt＞0であるような解だけに興味がある。

[7] というわけで、tがわかったんで、Tもわかる。なので答もわかる。

この回答へのお礼

丁寧に解説してくださってとても分かりやすく助かりました。ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/28 17:45