旅人算の解き方

Question

小学生の算数の問題を、方程式を使わずに解く方法を教えてください。
問題は、太郎と次郎がA町とB町を往復した。この時、次郎がA町を出発してから１２分後に太郎もA町を出発したところ、太郎はB町を折り返し0.6km進んだところで次郎と会った。太郎は分速90m、次郎は分速60mとする。太郎が次郎に追いついた地点はA町から何mか？

yhr2 · Accepted Answer

No.4です。「補足」に書かれたことについて。

＞折り返した後は太郎→←次郎向かい合わせの計算であり、この時の相対速度は(90+60)m/分になるので、答えが異なると思ったのですが、いかがでしょうか？

「同じ方向」か「逆向き」かは、この問題の場合関係ありません。2人の進む距離（道のり）の違いに着目しているので、それを生じるのは「速度差：(90-60)m/分 = 30m/分」です。
　あくまで「距離＝みちのり」を比較しているのであって、「位置」「座標」を比較しているのではありません。「出会った」のは「座標が同じになった」ことですが、その位置で「2人の道のりが 0.6km往復分の1200m 違う」ことを利用しています。

yhr2 · Answer

No.3です。

＞問題が間違っているかどうかは、現時点で確認できていないところですが…。

そうですか。

No.2さん流に書くと、
どう読んでも、
(B)　(0.6km)　太郎→←次郎　　(A)　　←問題文の「会った」
なのですが、そのためには
(B)　　←次郎太郎←　　(A)　　←問題には書かれていない。
の瞬間がないといけません。
矢印がこの向きだと、「追いついた」地点はAから 2160m でないといけません。
　これがNo.3の回答です。

最大限善意に解釈すると、「追いついた」のは問題文の最後に出て来るので、問題文の前半の条件の中には書かなかった、ということでしょうか。
　ちょっと、「国語」なり「論理的思考」の点から、疑問を感じますが。

なお、No.1さんの答は
(B)　(0.6km)　→太郎次郎→　　(A)　　←問題文の「会った」
のケースですね。このためには
(B)　　次郎→←太郎　　(A)　　←問題には書かれていない。
の瞬間がないといけません。下の方の「会った」を書かないのは完全に条件の欠落だし、上を「追いついた」ではなく「会った」というのもおかしい。

問題文の「太郎」と「次郎」が逆で、
(B)　(0.6km)　次郎→←太郎　　(A)
は、そもそも「次郎と太郎の差」は、最大で太郎がスタートするまでの次郎の進んだ距離「60m × 12分 = 720m 」なので、1200m の差がつくことはあり得ませんのでボツ。

ということで、消去法で「一番上（No.3の回答）しかあり得ない」というのが私の結論です。

yhr2 · Answer

時系列の紙芝居を作ろうして、質問者さんの書かれた「問題文」が正しいとすると、この問題が何か変なことに気付きます。

「太郎はB町を折り返し0.6km進んだところで次郎と会った」ということは、

（１）太郎がB町を折り返し0.6km進んだところで次郎に追い着いたのなら、太郎がB町を折り返す前に、先にB町を折り返した次郎と会っているはず
（２）B町を折り返した太郎が、遅れてまだB町に着く前の次郎に会ったのだとすると、すでにどこかで次郎を追い越していたはず（追い越すときにも「会っていた」はず）

ということなので、「太郎が次郎に追いついて追い越したことは、問題には書いていない」と解釈するしかありません。そうすると、「太郎はB町を折り返し0.6km進んだところで次郎と会った」というのが、問題に全く関係ないことになります。

「太郎が次郎に追いついた地点はA町から何mか？」は、単純に

12分先に出た次郎は既に 60m × 12分 = 720m 先を歩いている。
太郎は、次郎よりも１分あたり 90m - 60m = 30ｍ 速く進むので、720m の差を追いつくには 
　　720ｍ ÷ 30m = 24 分
かかる。
この間に太郎が進む距離は
　　90ｍ × 24分 = 2160m
なので、太郎が次郎に追いついた地点はA町から 2160m の地点である。

ということで解けます。

ちょっと変だな～、問題文が間違っているのでは？　という疑問も残りますが、きっと次に「Ａ町とＢ町の距離を求めなさい」という質問があるに違いない、と信じて紙芝居を書くと、下記のようになります。

０時０分：次郎がA町を出発。
０時12分：太郎もA町を出発。このとき次郎は 60m × 12分 = 720m 先を歩いていた。

０時○○分：太郎は次郎に追いつき、追い越した。
　太郎は、次郎よりも１分あたり 90m - 60m = 30ｍ 速く進むので、720m の差を追いつくには 
　　720ｍ ÷ 30m = 24 分
かかる。従って、このときの時刻は「０時36分」。
　つまり、問題で問われている「太郎が次郎に追いついた地点はA町から何mか？」に関しては、
　　　太郎が24分進んだ距離：90ｍ × 24分 = 2160m
　　　次郎が36分進んだ距離：60ｍ × 36分 = 2160m
ということになります。

０時△△分：太郎はB町に着いて、すぐに折り返してA町に向かって進み始めた。
　このときには、次郎は後ろにいて、B町の手前。

０時□□分：太郎はB町から 0.6km 進んだところで、B町に向かっている次郎と会った。つまり、太郎はこの時点で、次郎よりも 0.6km = 600m の往復分 1200m だけ先に進んでいたことになる。
　太郎は次郎よりも１分あたり 90m - 60m = 30ｍ 速く進むので、 1200m だけ先に進むには 
　　1200ｍ ÷ 30m = 40 分
かかる。
　「０時36分」に追い越してから 40 分経っていれば「１時16分」である。

0時0分にA町を出発した次郎が、「１時16分」までの76分間に進んだ距離は
　　　60m × 76分 = 4560m
で、B町はそこから 600m 先にあるので、Ａ町からＢ町までの距離は　
　　　4560ｍ + 600m = 5160m = 5.16 km
ということになります。

検算を兼ねて、これで紙芝居を再構築。

０時０分：次郎がA町を出発。
０時12分：太郎もA町を出発。このとき次郎は 60m × 12分 = 720m 先を歩いていた。

０時36分：太郎は次郎に追いつき、追い越した。
　このときのＡ町からの距離は2160ｍ。

０時57分20秒：太郎はB町に着いて、すぐに折り返してA町に向かって進み始めた。Ａ町からの距離は 5160m。
　このとき次郎はＡ町から 3440ｍ の地点にいて、B町の手前 1720m。

1時16分：太郎はB町から 0.6km 進んだところで、B町に向かっている次郎と会った。
　この時点で太郎が進んだ距離は 90m × 64分 = 5760m で、Ｂ町で折り返してから 5760 - 5160 = 600m 戻った地点である。
　この時点で次郎が進んだ距離は 60m × 76分 = 4560m で、Ｂ町の手前 5160 - 4560 = 600m の地点である。

銀鱗 · Answer

＞「太郎はB町を折り返し0.6km進んだところで」
の記述が不定なんだよね。

どう読んでも、
太郎→←次郎（B町から0.6km）
なんだよねえ。
←次郎←太郎（B町から0.6km）
な状況の場合でないとNo.1の回答ではダメなんだ。

太郎と次郎の速度の差は、90-60=30ｍ　　なので太郎は次郎に、720÷30=24分後に追いつく。
太郎と次郎の速度の差は、90-60=30ｍ　　なので太郎は次郎に、(720-600)÷30=4分後に追いつく。
になるんだ。
そして、90×4＝360ｍ　…になる。

と、言う状況なので、
「次郎と会った」と「次郎に追いついた」が同じ時を示しているのかを明確にする必要があります。

AR159 · Answer

次郎が先行している距離は、60×12＝720ｍ
太郎と次郎の速度の差は、90-60=30ｍ　　なので太郎は次郎に、720÷30=24分後に追いつく。
太郎が24分間に歩いた距離は、90×24=2160ｍ　　ということはA町とB町の距離は、2160-600=1560ｍ

二人が出会った場所はA町から、1560-600=960ｍ　　かな？

旅人算の解き方

No.4です。

No.3です。

時系列の紙芝居を作ろうして、質問者さんの書かれた「問題文」が正しいとすると、この問題が何か変なことに気付きます。

＞「太郎はB町を折り返し0.6km進んだところで」

次郎が先行している距離は、60×12＝720ｍ

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