零因子(右零因子、左零因子)について 右零因子になるが、左零因子にならない。という例はありますか？

零因子(右零因子、左零因子)について

右零因子になるが、左零因子にならない。という例はありますか？
AをBに比較したような問題で
『AはBの右零因子だが、左零因子にはならない』という形のものなら見たことがありますが、
ある行列Aの成分が表示されていて、そのAは零因子か？という問題では
『右零因子でも左零因子でもない』
『右零因子でもあり左零因子でもある』
の2通りの答えしか見たことがありません。
まだ問題演習量が少なすぎるからかもしれないですが、
右零因子⇔左零因子 のような関係性があったりするのでしょうか…？
また、その場合は
今まで(と言っても昨日初めてやった範囲なのですが)
問題を解く時にAをかける数･かけられる数両方のケースを確かめて答えていたのですが、片方答えを出せばもう片方はしなくて良いのですか？

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/23 00:45

右零因子でも左零因子でも, どちらにしても

0 を固有値に持つ
ことが条件になるし, その条件下では
最小多項式の定数項は 0
になるから
A が右零因子 ⇔ A が左零因子
だし, もっというと A が零因子のとき
AX = XA = O となる X≠O が存在する
といえる, はず.

この回答へのお礼

A が右零因子 と A が左零因子が同値なのかが不安だったので安心しました(T_T)！！！
助かりましたありがとうございました！！！

お礼日時：2022/04/26 23:32

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/19 13:17

A が左零因子 ∃B≠O, AB = O ならば、

右零因子 ∃C≠O, CA = O でもある
って話だよね？ もちろん B≠C も可で。

ポイントは、
dim Im A^T = rank A^T = rank A = dim Im A
であること。

A が n 次行列であるとき、次元定理より
dim Im A + dim Ker A = n,
dim Im A^T + dim Ker A^T = n
が成り立つ。←[1]
A が左零因子 ∃B≠O, AB = O であれば、
Ker A ⊇ Im B ≠ { O } より
dim Ker A ≧ dim Im B > 0 で
[1] より dim Ker A^T > 0 でもあることになる。
Ker A^T の零ベクトルでない元を並べて D を作れば、
∃D≠O, (A^T)D = 0.
式の転置をとれば ∃D^T≠O, (D^T)A = O で
A は右零因子にもなっている。

この回答へのお礼

それです…！！！！
すっごい納得出来ました！！！
ほんとにありがとうございます(T_T)！！

お礼日時：2022/04/26 23:31

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/19 10:08

A ＝

1 0
0 0

B =
0 0
1 0

AB =
0 0
0 0

BA =
0 0
1 0

この回答へのお礼

具体例までありがとうございました(T_T)！！！

お礼日時：2022/04/26 23:35