行列Xの2ノルムと行列Xの要素の絶対値の最大のものだったら行列2ノルムの方が大きくなると思いますが、

行列Xの2ノルムと行列Xの要素の絶対値の最大のものだったら行列2ノルムの方が大きくなると思いますが、どうやって証明したらいいかわからないので教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

• 行列はn×n行列です！

    補足日時：2022/05/11 13:58

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/13 14:58

行列 X の p-ノルム ‖X‖ は、一般に

ベクトル u の p-ノルム ｜u| を用いて
‖X‖ = max[uについて] ｜X u｜/｜u｜ と定義される。
p = 2 の場合も同じ。

行列 X の i 行 j 列成分 を xij、
その中で絶対値最大のものを xIJ、
第 J 成分のみが 1 で他成分が 0 のベクトルを eJ
と置くと、上記の定義で u = eJ の場合を考えれば
‖X‖ ≧ ｜X eJ｜/｜eJ｜ = ｜X eJ｜ が判る。

これと
｜X eJ｜² = ｜(x1J,x2J,...,xnJ)｜²
　　　　= (x1J)²+(x2J)²+...+(xnJ)²
　　　　≧ (xIJ)² と併せると、
‖X‖ ≧ ｜xIJ｜ となる。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/11 17:19

|| ||=√ΣΣ Aij²≧√Aij²=|Aij|

i,jは任意だから、max{Aij}のi,j でも成り立つ。