画像の質問に答えて頂けないでしょうか？ どうかよろしくお願い致します。

画像の質問に答えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  
  「i)
  0<r<2
  C={z||z-1|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  z=1は1位の特異点だから
  ...
  ∴
  a(n)=-1/(-2)^(n+2)」
  に関して、
  特異点z=1の時|z-1|=rは|1-1|=rとなりr=0と導けます。r=0はrの範囲である0<r<2に入らないと思うのですが...なぜ特異点z=1の時、rは0<r<2の範囲に入らないのに式が展開できるのでしょうか？

    補足日時：2022/05/31 14:11

• すいません。質問を編集致しました。
  
  >> 展開できるのは
  0<r<2
  z∈C={z||z-1|=r}
  の時
  0<|z-1|<2
  の時
  式が展開できるのです
  
  ですが、
  「i)
  a=1
  0<r<2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
  n≧-1の時
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|=rの時、z=1でn+2位の極を持つから
  a(n)
  =Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
  ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
  =-1/(-2)^(n+2)」
  より、z=1の時は|z-1|=r
  |1-1|=r r=0となりますが、
  r=0は0<r<2の範囲に含まれませんが、なぜa(n)が導けたのでしょうか？

    補足日時：2022/06/01 18:06

• なぜ(z-1)^0の項の係数はa(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(n)となるのですか？
  
  どうかわかりやすく教えて頂きたいです。
  
  特に「a(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項」の部分が何を言いたいのか良くわかりませんでした。

    補足日時：2022/06/03 08:30

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/30 08:17

全然話が見えず。

z、r、Cって何？
そもそも問題は何？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/30 09:37

違います

「
z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、かつ正則である
」
ではなく
「
z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、正則でない
」
です

0<r<1
z=1の時に|z-1|=0となり、
|z-1|=0<r
となり
|z-1|=r
とならないから
z=1は
C={z||z-1|=r}
の要素ではないのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すなわち、

0<r<1
z=1の時に|z-1|=0となり、
|z-1|=0<r
となり
|z-1|=r
とならないから
z=1は
C={z||z-1|=r}
の要素ではない
なおかつ
z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、
正則でないと言えるわけでしょうか？

お礼日時：2022/05/31 13:34

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/30 14:03

他の人の質問ですか？

「なぜ |z-1|=0<r と作れたのでしょうか」の
「作れた」が意味不明ですね。

「z=1 のときに |z-1|=0<r だから z=1 は C の要素でない」は
著者のミスか写した人のミスで、
「z=1 のときに |z-1|=0 だから z=1 は C の要素でない」が
正解だろうと思います。
内容的には、あなたが言うとおり
「r=0 であるため、r の範囲は 0<r<1 に反する」で ok です。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/31 14:47

展開？

ひょっとしてローラン展開の話？

この回答へのお礼

はい、そうです。

お礼日時：2022/05/31 15:18

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/01 17:18

i)

特異点z=1の時、rは0<r<2の範囲に入らない
から
式は展開できません
式が
展開できるのは
0<r<2
z∈C={z||z-1|=r}
の時
0<|z-1|<2
の時
式が展開できるのです
z=1では展開できないのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
特異点z=-1の場合も|z-1|=rより
|-1-1|=r r=2となり、0<r<2の範囲に入りませんが、なぜa(n)が導けたのでしょうか？

また、以前に以下のようにz=1の時にa(n)を導けましたが、z=-1の間違いだったのでしょうか？
「i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
n≧-1
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから
f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
1/(z^2-1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m-n)!}a(m)(z-1)^(m-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!でわると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
∴
a(n)=-1/(-2)^(n+2)」

お礼日時：2022/06/01 17:45

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 03:38

i)

特異点z=1の時、rは0<r<2の範囲に入らない
特異点z=-1の時、rは0<r<2の範囲に入らない
から
式は展開できません
式が
展開できるのは
0<r<2
z∈C={z||z-1|=r}
の時
0<|z-1|<2
の時
式
f(z)=1/(z^2-1)
が
Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
と
展開できるのです
z=1では展開できないのです
z=-1では展開できないのです

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 03:47

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

の
z→1
は
z=1の意味ではありません
0<|z-1|<r
の
zを1に近づけると|z-1|はどんなに小さな正の値をとるけれども
決してz=1にはならないように近づけるのです
zを1に近づけると

g(z)=1/(z+1)
(d/dz)^(n+1){g(z)}=g^(n+1)(z)
は
連続だから

(d/dz)^(n+1)_{z=1}{1/(z+1)}=g^(n+1)(1)
に
近づくのです

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 04:01

f(z)=1/(z^2-1)

は
z=1で正則ではないから展開できないけれども
0<|z-1|<2で
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できるのです

(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できて
(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
の
(z-1)^0の項の係数a(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(n)
となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「0<|z-1|<2で
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できるのです」
に関して、
|z-1|=rであり、z=1の時に特異点を持つため、
|z-1|=rにz=1を代入して、|1-1|=r
r=0となりますよね？

この時rの範囲は0<|z-1|<2であるため、(z→1ではなく、)z=1の時に導かれたr=0は範囲外になると思うのですが、なぜrの範囲に入るのでしょうか？

お礼日時：2022/06/02 19:41

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 19:28

f(z)=1/(z^2-1)

は
z=1で正則ではないから展開できないけれども
0<|z-1|<2で
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できるのです

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できて
g(z)=(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
の
g(z)の(z-1)^(n+1)の項の係数a(n)=f(z)の(z-1)^nの項の係数a(n)
となるのです
だから
z=1で正則で展開できるg(z)の(z-1)^(n+1)の項の係数a(n)を求めれば
そのa(n)が
z=1で正則でないf(z)の(z-1)^nの項の係数a(n)に一致するのです
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
の1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1で正則でないけれども
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
の1/(z+1)はz=1で正則だから

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、
g(z)=(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)の(z-1)f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)の式にf(z)=1/(z^2-1)を代入して
a(n)=としてn≧-1の時z=1の時の
a(n)=-1/(-2)^(n+2)と導けるでしょうか？

もし導けるならば導くまでの過程の式を教えてください。

お礼日時：2022/06/03 02:31

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/02 19:53

rは

0<r<1
なのです
r=0にはなりません

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)
は
z=1で正則だから展開できるけれども
g(z)の場合のzとrは関係ありません
r=0としているのではありません

r
は
あくまで
0<r<1
f(z)のzに対してのr=r_fなのです
f(z)の
zの範囲は0<|z-1|<2なのだけれども

z→1の時は
g(z)のzに対して行うのです
rは
g(z)のzとは関係ありません