
数学ⅲの三角関数の微分と合成関数の微分ですが、教科書の定義では、
cosx=sinx、sinx=-cosx と書いてありますが、
実際の問題の解説などを見ているとやり方の意味がわかりません。というか、公式通りになっていない気がします。例えば、
【問題】sin2xを微分せよ について、
解答は、2cos2xとなっています。
でも、公式通りに解こうとすると、-cos2xになる気がするのですが‥
この問題(sin2xの微分)の解説では、「合成関数の微分を使う」と書いてありますが、
合成関数の微分は、
y=(2x-3)^3を微分せよ。といったような場合にしか使えないのではないのですか?
なぜ、sin2xを微分するときに合成関数の微分を使うのかを教えてください。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
cosxのxによる微分は
lim_{h→0}{cos(x+h)-cosx}/h=-sinx
sinxのxによる微分は
lim_{h→0}{sin(x+h)-sinx}/h=cosx
↓xを2x,hを2hに置き換えると
lim_{2h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)=cos(2x)
=lim_{h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)=cos(2x)
sin(2x)のxによる微分は
lim_{h→0}{sin{2(x+h)}-sin(2x)}/h
=lim_{h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/h
=lim_{h→0}2{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)
=2lim_{h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)
↓lim_{h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)=cos(2x)だから
=2cos(2x)
No.3
- 回答日時:
>教科書の定義では、
>cosx=sinx、sinx=-cosx と書いてありますが、
誤り。
d/dx(sinx)=cosx
d/dx(cosx)=-sinx
u(x)=2x とすると
sin(2x)=sin(u(x))
合成関数の微分則から
d/dx(sin(2x))=d/du(sin(u))・du/dx=cos(u)・2=2cos2x
No.2
- 回答日時:
細かい話ですが大事な内容なので一言。
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
と言うのは定義ではなくて定理です。定義には証明は必要ありませんが定理には必ず証明が必要です。
No.1
- 回答日時:
> なぜ、sin2xを微分するときに合成関数の微分を使うのか
f(u) = sin u, 2x = g(x) と置くと、 sin 2x = f(g(x)) であって、
まんま合成関数だからです。
{ f(g(x)) }’ = f’(g(x))・g’(x) = (cos 2x)・2 = 2 cos 2x ですね?
> 公式通りに解こうとすると、-cos2xになる
どうやったら、そうなるんですか?
途中計算を補足に書いてみてください。
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