{logf(x)}'=f'(x)/f(x)の証明。

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質問者：gezigezi
質問日時：2009/06/15 20:22
回答数：3件

こんばんは。今学校で数IIIをならっている高校生です。
微分を今習っているのですが、

{logf(x)}'=f'(x)/f(x)

という公式が出てきたのですがこれはなぜ成り立つのですか。
底の変換公式を使うのでしょうか？さっぱりわかりません。
どなたか証明をお願いします。

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回答 (3件)

No.3

回答者： PRFRD
回答日時：2009/06/16 11:14

別解．g(x) = log f(x) とおくと exp( g(x) ) = f(x)．

この両辺を x で微分すると g'(x) exp( g(x) ) = f'(x)
exp( g(x) ) = f(x) を戻せば g'(x) = f'(x) / f(x)

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

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お礼日時：2009/07/02 20:33

No.2

回答者： sanori
回答日時：2009/06/16 00:53

こんばんは。

教科書に書いてあるはずなんですけどね。

ｔ　＝　ｆ（ｘ）
ｙ　＝　logｆ（ｘ）＝　logｔ
と置けば、合成関数の微分により、
ｙ’＝　ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ

ここで、
ｄｙ／ｄｔ　＝　１／ｔ
ｄｔ／ｄｘ　＝　ｆ’（ｘ）

よって、
ｄｙ／ｄｘ　＝　ｆ’（ｘ）／ｔ
　＝　ｆ’（ｘ）／ｆ（ｘ）

ご参考になりましたら。