εδ論法がよく分かりません 以下の問題の解説を教えてください 次の(1),(2)のおのおのについて,

εδ論法がよく分かりません
以下の問題の解説を教えてください


次の(1),(2)のおのおのについて,それを満たすδをεで表わせ

(1)0<|x-1|<δならば,|x^2-1|<ε

(2) (2)0く|x-1|くδならば,|1/x-1|<ε

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/16 16:49

ε>0

とする
(1)
δ=min(ε/3,1)
とすると
δ≦1
δ≦ε/3
だから
0≦1-δ

0<|x-1|<δ
ならば
0≦1-δ<x<1+δ
1<2-δ<x+1<2+δ≦3
|x+1|≦3
↓これと|x-1|<δをかけると
|(x-1)(x+1)|<3δ
↓|x^2-1|=|(x-1)(x+1)|だから
|x^2-1|<3δ
↓δ≦ε/3だから3δ≦εだから
|x^2-1|<3δ≦ε
∴
|x^2-1|<ε


(2)
δ=min(ε/2,1/2)
とすると
δ≦ε/2
2δ≦ε
δ≦1/2
0≦1/2-δ
1/2≦1-δ

0<|x-1|<δならば

1-δ<x<1+δ
↓1/2≦1-δだから
1/2<x
↓両辺に2/xをかけると
1/x<2
↓x>0だから
|1/x|<2
↓これと|x-1|<δをかけると
|x-1||1/x|<2δ
|(1-x)/x|<2δ
|1/x-1|<2δ
↓2δ≦εだから
∴
|1/x-1|<ε

No.2 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2022/07/16 16:31

うッ！

先を越されました。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/16 16:17

(1)

　δ=min{0.1, ε/2.1}
とする。つまり
　δ≦0.1 かつ δ≦ε/2.1

すると
　|x+1|=|x-1+2|≦|x-1|+2<δ+2≦2.1
だから
　|x²-1|=|x+1||x-1|<2.1δ≦2.1ε/2.1=ε

(2)
　δ=min{0.1, 0.9ε}
とする。つまり
　δ≦0.1 かつ δ≦0.9ε

すると
　|x|=|x-1+1|≧1-|x-1|>1-0.1=0.9
だから
　|1/x-1|=|x-1|/|x|<δ/0.9≦0.9ε/0.9=ε