No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ε>0
とする
(1)
δ=min(ε/3,1)
とすると
δ≦1
δ≦ε/3
だから
0≦1-δ
0<|x-1|<δ
ならば
0≦1-δ<x<1+δ
1<2-δ<x+1<2+δ≦3
|x+1|≦3
↓これと|x-1|<δをかけると
|(x-1)(x+1)|<3δ
↓|x^2-1|=|(x-1)(x+1)|だから
|x^2-1|<3δ
↓δ≦ε/3だから3δ≦εだから
|x^2-1|<3δ≦ε
∴
|x^2-1|<ε
(2)
δ=min(ε/2,1/2)
とすると
δ≦ε/2
2δ≦ε
δ≦1/2
0≦1/2-δ
1/2≦1-δ
0<|x-1|<δならば
1-δ<x<1+δ
↓1/2≦1-δだから
1/2<x
↓両辺に2/xをかけると
1/x<2
↓x>0だから
|1/x|<2
↓これと|x-1|<δをかけると
|x-1||1/x|<2δ
|(1-x)/x|<2δ
|1/x-1|<2δ
↓2δ≦εだから
∴
|1/x-1|<ε
No.1
- 回答日時:
(1)
δ=min{0.1, ε/2.1}
とする。つまり
δ≦0.1 かつ δ≦ε/2.1
すると
|x+1|=|x-1+2|≦|x-1|+2<δ+2≦2.1
だから
|x²-1|=|x+1||x-1|<2.1δ≦2.1ε/2.1=ε
(2)
δ=min{0.1, 0.9ε}
とする。つまり
δ≦0.1 かつ δ≦0.9ε
すると
|x|=|x-1+1|≧1-|x-1|>1-0.1=0.9
だから
|1/x-1|=|x-1|/|x|<δ/0.9≦0.9ε/0.9=ε
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