写真の問題についてですが、なぜ赤線部のように |x0-1|<min{δ,1/2}と考えるのでしょうか

写真の問題についてですが、なぜ赤線部のように
|x0-1|<min{δ,1/2}と考えるのでしょうか？どのように考えればmin{δ,1/2}という考えに至るのでしょうか？また、x0と置き直して？考えているのもよくわからないです。また青線部の条件でδ>0と書いてあることから赤線部のところを|x0-1|<δとして考えるのはダメなのでしょうか？うまく説明できずすみません。
解説おねがいします。

https://d.kuku.lu/wfk7z6axs

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/03 10:21

|x-1|<1/2

だから
1-|x-1|>1-1/2=1/2
が
成り立ち

|F(x)-4|≧1-|x-1|>1/2
が
成り立つから

|x-1|<δ
&
|x-1|<1/2

でなければいけません

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/03 06:07

F(x)=(x^2+x-2)/(x-1)

ε=1/2

任意のδ>0に対して

x=1+δ/(2+2δ)
とすると

|x-1|=δ/(2+2δ)<δ
|x-1|=δ/(2+2δ)<1/2
だから

|F(x)-4|
=|(x^2+x-2)/(x-1)-4|
=|{x^2+x-2-3(x-1)}/(x-1)-1|
=|(x^2-2x+1)/(x-1)-1|
=|(x-1)^2/(x-1)-1|
=|x-1-1|
≧1-|x-1|
>1-1/2
=1/2

だから

lim{x→1}F(x)≠4

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/03 00:22

これは微妙な所なので、ひれクレタ書き方をせず、極限

　∀ε>0,∃δ>0 (∀x,|x-1|<δ → |F(x)-3|<ε)
の否定
　∃ε>0,∀δ>0 (∃x,|x-1|<δ → |F(x)-4|≧ε)
を証明すればよいです。

そこで、存在すればよいので、ε=1/2 とします。また
　∀δ>0, |x-1|<δ・・・①
なのですが、xはある値が存在すればよいので①を満たすxの内
さらに
　|x-1|<1/2
を満たすものの1つを、x₀とします。

すると、画像の計算通り
　|F(x₀)-4|≧-|x₀-1|+1>-1/2+1=1/2=ε
勿論これは
　|F(x₀)-4|≧ε
なので、F(x) → 4　が否定された。

勿論、x₀ → x としても何の問題もない。