No.1ベストアンサー
- 回答日時:
どんなに小さいεの時でも、
N>2/ε-1
とすれば、
すべての n≧N の時に |an-1|<ε となる。
ということを証明してくださいということですね。
代入して約分して整理すると、、
|an-1|
=|(n-1)/(n+1)-1|
=|(n-1)/(n+1)-(n+1)/(n+1)|
=|2/(n+1)|
=2/(n+1)
≼2/(N+1)
<2/[(2/ε)-1+1]
=ε
No.4
- 回答日時:
どんなに小さな正の数εが与えられても,
N>2/ε をみたすNが必ず存在し,
n≧Nとすれば
2/ε<N≦n<n+1
2/ε<n+1
↓両辺にε/(n+1)をかけると
2/(n+1)<ε
|a(n)-1|
=|(n-1)/(n+1)-1|
=|{n-1-(n+1)}/(n+1)|
=|-2/(n+1)|
=2/(n+1)
<ε
No.3
- 回答日時:
写真の、青線より前の部分で
|an - 1| < ε から n > 2/ε - 1 を導いていますが、
その変形が n+1 > 0, ε > 0 の下では同値変形である
ことに気づきましたか? そこに気づけば、
∀ε>0, ∀n∈自然数, n > 2/ε - 1 ⇒ |an - 1| < ε …[1]
は、もう示せていることになります。
あと一歩で εN論法へもってくために、大切なのは
写真の「N > 2/ε - 1 をみたす N が必ず存在し」のほう
なのですが、これが言えるのは、
実数の定義に「アルキメデス性」が含まれているからです。
参考↓
https://wiis.info/math/real-number/definition-of …
そのような N が存在すれば、 n ≧ N のとき n ≧ N > 2/ε - 1 ですから
[1] から ∀ε>0, ∃N∈自然数, ∀n, n ≧ N ⇒ |an - 1| < ε …[2]
が言えますね。[2] は、lim[n→∞] an = 1 の定義そのものです。
No.2
- 回答日時:
**写真の青線部解説**
写真の青線部は、ε-N論法を用いて数列 `an = (n - 1) / (n + 1)` の極限値が 1 であることを証明する過程の一部です。
**ε-N論法とは**
ε-N論法は、数列の極限値を定義する数学的な方法です。この方法は、任意の正の値 ε に対して、ある自然数 N が存在し、N 以降のすべての項が ε よりも極限値に近づくことを証明することで成り立ちます。
**写真の青線部における論理**
写真の青線部では、`ε` を任意の正の値とし、`N = 2 - ε` という自然数 N を仮定します。そして、N 以降のすべての項 `an` について、以下の式が成り立つことを示しています。
```
|an - 1| < ε
```
つまり、N 以降のすべての項 `an` は、1 から ε よりも小さい範囲内に存在することを示しています。
**なぜN≧Nとすれば|an-1|<εが成り立つのか?**
N≧N とすれば、`n ≥ 2 - ε` となります。
この式を以下のように変形できます。
```
n - 1 ≥ 2 - 2ε
```
さらに、`2 - 2ε > 0` であることから、
```
n - 1 > 0
```
となり、`n > 1` となります。
`an = (n - 1) / (n + 1)` を変形すると、
```
an = 1 - 2 / (n + 1)
```
となります。
`n > 1` であることから、`n + 1 > 2` となり、
```
|2 / (n + 1)| < 1
```
となります。
さらに、
```
|1 - 2 / (n + 1)| = |an - 1|
```
であることから、
```
|an - 1| < 1 - 2 / (n + 1) < 1
```
となります。
`ε > 0` であることから、`1 - ε > 0` となり、
```
|an - 1| < 1 - ε < ε
```
となります。
以上のことから、N≧N とすれば、`|an - 1| < ε` が成り立つことが示されました。
**まとめ**
写真の青線部は、ε-N論法を用いて数列 `an = (n - 1) / (n + 1)` の極限値が 1 であることを証明する過程の一部です。N≧N とすれば、`|an - 1| < ε` が成り立つことを示しました。
**補足**
写真の解説文では、`N = 2 - ε` という自然数 N を仮定していますが、これはあくまで一例です。実際には、`ε` の値に応じて、N の値は変化します。しかし、どのような `ε` の値に対しても、N の値を適切に選ぶことで、`|an - 1| < ε` が成り立つことを示すことができます。
**参考資料**
* ε-N論法の演習問題 16 問(解答付き)|数列の極限 | 蛍雪に染まる。: [https://sorai-note.com/math/epsilon-n-exercises/](https://sorai-note.com/math/epsilon-n-exercises/)
* うさぎでもわかるε-δ論法・ε-N論法 | 工業大学生ももやまのうさぎ塾: [https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-analys …](https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-analys …
* イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に~数列の極限の定義~ | 数学の景色: [https://mathlandscape.com/eps-n/](https://mathlandscape.com/eps-n/)
以上、写真の青線部の意味と、なぜ N≧N とすれば `|an - 1| < ε` が成り立つのかについて説明しました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 英語 後置修飾等により限定された名詞の冠詞が不定冠詞a/anの場合の初出の意味の存否について 6 2024/04/09 06:10
- 数学 a1=a b1=b an+1=5an-bn cn=an+1-an (n=1、2、3…) を満たしてい 2 2022/11/05 17:48
- 英語 無冠詞の食べ物が不適切な表現になる場合について 4 2023/10/23 09:00
- 数学 微分積分についての問題がわからないです。 2 2022/08/08 15:16
- 英語 文頭にない「無冠詞+単数名詞」が総称表現なのかとその見分け方について(an accedent) 18 2024/04/02 11:03
- 英語 "an amount of"の意味等について 2 2023/06/13 12:19
- 英語 提示文の構造について(名詞+be that V?) 2 2023/05/19 09:46
- 数学 次の数列{an}の一般校を求めよ 0、5、16、33、56… 解説の写真の部分がわかりません、 数列 1 2023/06/16 15:11
- 高校 数学Ⅲ 3 2024/01/05 22:47
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
性格の違いは生まれた順番で決まる?長男長女・中間子・末っ子・一人っ子の性格の傾向
同じ環境で生まれ育っても、生まれ順で性格は違うものなのだろうか。家庭教育研究家の田宮由美さんに教えてもらった。
-
確率の問題 数学と実生活と
数学
-
イプシロンエヌ論法についてですが、 写真の問題の青全部についてですが、なぜεの範囲を0<ε<2として
数学
-
下の画像の中の三角形は正方形だ、と友達が言っていたのですが、その根拠のようなものはありますか? 二等
数学
-
-
4
数学I アホらしい質問なのでそんなこと考えることは無駄などの解答は受け付けておりません。 また自分的
数学
-
5
かなりあやしい
数学
-
6
虚数の計算を教えてください
数学
-
7
不完全定理により、「ある命題が証明も否定もできなかったら、真理である場合がある。」と解釈してよろしい
数学
-
8
イプシロンデルタ論法の定義についてですが、写真の青線部がわからないです。 0<を除いて|x-a|<δ
数学
-
9
1/z^2 を z=i の周りで展開しなさい。 この問題が分からないです。また複素関数論のいい教科書
数学
-
10
n^2+n-4032はどうやって解くんですか? n=-64,63になるらしいですがそんなのどうやって
数学
-
11
(-1) ^2πってなんで1じゃないんですか?((-1) ^2) ^π = 1じゃないんですか?
数学
-
12
自然定数を底にしたときの、log(π) の 手計算での値は
数学
-
13
なんでですか?
数学
-
14
過去質『すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法:ファイナル』について
数学
-
15
数学を勉強すると論理的思考力が向上するという疑わしい主張が横行しているのはなぜですか?
数学
-
16
これの極限値を求める問題で、 0≦|cosx|≦1であるからx>0のとき と書いてあったのですが、x
数学
-
17
おしえてgooに図形の問題を投稿したら、削除されました。なぜでしょう?
数学
-
18
逆三角関数の方程式の問題です。解いたらこうなりましたが、本には、解なしと書かれていました。僕が作った
数学
-
19
微分係数の定義?
数学
-
20
以前にも質問させていただいたのですが、理解することができなかったので再度質問させていただきます。 写
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
信頼区間の1.96や1.65ってどこ...
-
「Aに対するBの割合」と「Aに対...
-
数学 確率変数Xは、X=2またはX...
-
2÷3などの余りについて
-
変数とパラメータとは違うもの...
-
マイナスからプラスへ転じた時...
-
EXCELの分散分析表のP-値が....
-
中学生で数学です。 √84nが自然...
-
Aの値からBの値を除するとは??
-
数学のデータの相関の散布図で...
-
20'(角度)の計算がわかりま...
-
大学数学の問題です。 加法群Z/...
-
教えてください。数学Bの二項分...
-
5の-2/3(マイナス3分の2)乗と...
-
Excelで1つしかない値だけを抽...
-
lim{x→0} cos(1/x)...
-
エクセルで可視セルにのみ値貼...
-
整数問題6 三角形とtan
-
EXCEL AVEREGE関数について
-
関数f(x)= x³‐3ax²+3ax+2 が極...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
マイナスからプラスへ転じた時...
-
信頼区間の1.96や1.65ってどこ...
-
2÷3などの余りについて
-
Aの値からBの値を除するとは??
-
「Aに対するBの割合」と「Aに対...
-
エクセルの問題です。絶対値の...
-
ある商品のロス率を5%見込み、...
-
変数とパラメータとは違うもの...
-
EXCELの分散分析表のP-値が....
-
エクセルで可視セルにのみ値貼...
-
値差の%計算方法について
-
20'(角度)の計算がわかりま...
-
Excelで1つしかない値だけを抽...
-
大学数学の問題です。 加法群Z/...
-
エクセルのクイックアクセスツ...
-
寄り付きからぐわんぐわん値が...
-
中学生で数学です。 √84nが自然...
-
正の数aは4の倍数で、7でわると...
-
シグマを平均値で割る
-
二次関数と関数の違いは何ですか?
おすすめ情報