x, y, z ∈ Z>0 が (x, y) = 1, x^2 + 3y^2 = z^2 を満たして

x, y, z ∈ Z>0 が (x, y) = 1, x^2 + 3y^2 = z^2 を満たしている時, x, y, z はどのように表されるのでしょう？
数学が得意な方お願いします！

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/27 06:19

x^2+y^2 = z^2

の場合には「x と y の (少なくとも) 一方は偶数」という条件があるんだけど, この質問で出ている
x^2+3y^2 = z^2
では「x と y がどちらも奇数」という場合がある (実際 #1 でも実例が示されている). だから, それも考慮しなきゃならない.

ということで, 互いに素な m, n に対し
・x = abs(3m^2-n^2)/2, y = mn, z = (3m^2+n^2)/2, if mn ≡ 1 (mod 2)
・x = abs(3m^2-n^2), y = 2mn, z = 3m^2+n^2, if mn ≡ 0 (mod 2)
かなぁ.

あるいはまとめて
x = abs(3m^2-n^2)/d, y = 2mn/d, z = (3m^2+n^2)/d, where d = gcd(3m^2-n^2, 2mn, 3m^2+n^2)
とでも書いておく?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/25 13:51

ピタゴラス数の一般解とほぼ同様に処理できるけど、

結果はピタゴラス数ほど単純ではない感じ。
z = (3m^2 + n^2), x = (3m^2 - n^2), y = 2mn または
z = (m^2 + 3n^2), x = (m^2 - 3n^2), y = 2mn
　; ただし m,n は互いに素な自然数で x > 0 を満たすもの
になるかな？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/25 05:44

x,y,z∈Z>0

(x,y)=1
x^2+3y^2=z^2

x=1
y=1
z=2

の時

x^2+3y^2=4=z^2

a^2>3b^2

x=a^2-3b^2
y=2ab
z=a^2+3b^2

の時

x^2+3y^2
=(a^2-3b^2)^2+12a^2b^2
=a^4+6a^2b^2+9b^4
=(a^2+3b^2)^2
=z^2