無理関数と二次関数の交点

下の画像の問題の交点をもとめる計算をどうすればよいかわからないです。
y=x^2-1のyに√x+1を代入して計算するという流れはわかるのですが、√を消すために互いに^2すると
x^4などが出てきて頭ごっちゃです。
ちなみ四角え　に入る数字は1です
宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ちょっとなぜ座標が自動的にきまるのかわからないです

    補足日時：2022/08/26 00:36

• x 座標と y 座標とが等しい、（A, A) である」ということなので ←あとなぜこれを言い切れるのかがわからないです。
  宜しくお願い致します。

    補足日時：2022/08/26 00:37

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/08/26 00:56

No.1 です。

＞x 座標と y 座標とが等しい、（A, A) である」ということなので ←あとなぜこれを言い切れるのかがわからないです。

解答欄を見ればそう書いてありますよね？　
「か」「き」が x 座標、y 座標で共通ですよ？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/08/26 00:28

その上の設問で、

　y = √(x + 1)
のグラフを書いていますよね？

そのグラフとの交点が「x 座標と y 座標とが等しい、（A, A) である」ということなので、その座標は「y = x^2 - え」とは関係なく自動的に決まりますよね？

つまり、
　A = √(A + 1)　　　①
を満たす A が交点の座標ということになります。

①を解けば、A > 0 であり、①を2乗して
　A^2 = A + 1
→　A^2 ₋ A - 1 = 0
二次方程式の解の公式から
　A = [1 ± √(1 + 4)]/2 = (1 ± √5)/2

A>0 なので
　A = (1 + √5)/2　　　②

これで「か」「き」が決まります。


これを使って
　y = x^2 - え
の関数を決定します。

つまり (A, A) を通るので
　A = A^2 - え
→　え = A^2 - A

これに②を代入して
　え = [(1 + √5)/2]^2 - (1 + √5)/2
　　= (1 + 2√5 + 5)/4 - (1 + √5)/2
　　= (3 + √5)/2 - (1 + √5)/2
　　= 1