数Ⅲ、無限等比数列の問題についてです。 極限を調べる問題で、 場合分けのうちの |r|>1 の時、

数Ⅲ、無限等比数列の問題についてです。

極限を調べる問題で、
場合分けのうちの |r|>1 の時、
|1/r|<1 を利用したいのですが、
解説で画像の◎のような式変形をしていました。
(それより下に書いてあるものは私の考えです)

丸で囲ってあるように、もとの式(◎のイコールの左側)を分母分子をr^2nで割る操作をしてから、くくっているのかな、と思ったのですが、
そこから◎の右の形になる仕組みが分かりません。

右の形を展開すると、一番下に書いたようになりませんか？
なぜ◎の式変形が成り立つのか、教えて下さい。

(説明が下手で申し訳ありません)

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2022/11/12 18:10

◎の左辺＝1- r- r^2n/1+r+r^2n=(1- r) - r^2n/(1+r)+r^2n

としてから分母分子をr^2nでわったら
右辺の分母の1 -rを1+rとしたものに等しい。
だからミスプリっしょ？
あなたの考えの分母分子の真ん中の項の1/rは 1/r^(2n-1)
の誤りです。

この回答へのお礼

仰る通り真ん中の項を完全に間違えていました…
回答ありがとうございます！

お礼日時：2022/11/12 20:37

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/11/12 13:28

○で囲ってある部分が間違い。

◎式の左辺の分子をr²ⁿで割る
1/r²ⁿ=(1/r²)ⁿだから、1/r²ⁿ-r/r²ⁿ-1=(1-r)(1/r²)ⁿ - 1

◎式の左辺の分母をr²ⁿで割る
1/r²ⁿ+r/r²ⁿ+1=(1+r)(1/r²)ⁿ + 1

これじゃ右辺にならない
分母は1-r+r²ⁿの間違い！！

この回答へのお礼

とても分かりやすいです
(指数も見やすい…入力できるのですね)
ありがとうございます！

お礼日時：2022/11/12 20:36

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/11/12 10:38

真ん中の式が間違っています。

一番下はあっていますが、そんな
展開は無用です。

１行右辺で (1/r²)ⁿ → 0とすれば、極限は -1/+1=-1 とできる。
なお、分母の (1-r)は(1+r)で、結果に影響しない誤り。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
真ん中間違っていますね…気付きませんでした

お礼日時：2022/11/12 20:33