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No.2
- 回答日時:
No.1はちょっとごちゃごちゃしてたので、解の例を作る手順として整理しておきます。
(全ての解を網羅する方法、というわけではありません。)[準備1]aの素因数分解が
a = Π p[i]^q[i] (p[i]はどれも相異なる素数)
のとき
σ(a) = Π (p[i]^(q[i]+1) - 1)/(p[i] - 1)
であることはよく知られている。ここで
(x^(m+1) - 1)/(x-1) = 1 + x + ... + x^m
は等比級数で、従って左辺は必ず割り切れることに注意。
[準備2]問題から
c = a + b
でbを消去してcについて解くと
c = ((σ(a) - a)/(2n + 1)) (n^2)
という方程式。だからもし(σ(a) - a)が(2n + 1)で割り切れれば十分。
そこで、(σ(a) - a)が(2n + 1)で割り切れるようなa, nをみつける。
[手順1] テキトーな素数pを持ってくる。そして、
k = 1, 2, .... についてテキトーに(ふつうの人は順番にやるだろうが)
r = (p^(k+1) - 1)/(p - 1) = (1 + p + p^2 + ... + p^k)
が素数になるkをひとつみつける。
(たとえば
p=2ならk= 1, 2, 4, 6, 12, ...
p=3なら k=2, 6, 12, ...
p=5なら k=2, 6, 10, ...
)
p=2, k=1の場合以外、kは必ず偶数であり、かつ r>p であることは容易にわかるでしょう。
[手順2] 素数rは奇数だから
n = (r - 1)/2
は自然数。つまり
r = 2n+1
[手順3] 勝手な(0でない)自然数q、および「rとpを素因数に含まない勝手な(0でない)自然数」sを使って
a = (r^q)(p^k)s
とする。(もちろんq=1, s=1でも構わない。)
これでaはrで割り切れる。そして、
σ(a) = ((p^(k+1) - 1)/(p - 1)) ((r^(q+1)-1)/(r-1)) σ(s)
= r ((r^(q+1)-1)/(r-1)) σ(s)
だからσ(a)もrで割り切れる。
[手順4]
c = ((σ(a) - a)/r)(n^2)
b = c - a
No.1
- 回答日時:
a=117, b=63, n=6 とか?
ご質問の方程式を整理すると(c = a+b として)
(σ(a) - a)(n^2) = (2n + 1)c
これを満たすa, n, cを見つけたい。
素数pに対して
2n + 1 = (p^(2k+1) - 1)/(p - 1)
がpでない素数になるとき(たとえばp=3, k=1)
a = (2n+1)(p^(2k))
とすれば
σ(Π(p[j]^q[j]) = Π(p[j]^(q[j]+1) - 1)/(p[j] - 1)
を使って
σ(a) =(((2n+1)^2 - 1)/(2n)) (p^(2k+1) - 1)/(p - 1)
= (((2n+1)^2 - 1)/(2n)) (2n + 1)
なので σ(a) - a は(2n + 1)で割り切れるから
c = (n^2)(σ(a) - a)/(2n + 1)
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