
A 回答 (2件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
No.1はちょっとごちゃごちゃしてたので、解の例を作る手順として整理しておきます。
(全ての解を網羅する方法、というわけではありません。)[準備1]aの素因数分解が
a = Π p[i]^q[i] (p[i]はどれも相異なる素数)
のとき
σ(a) = Π (p[i]^(q[i]+1) - 1)/(p[i] - 1)
であることはよく知られている。ここで
(x^(m+1) - 1)/(x-1) = 1 + x + ... + x^m
は等比級数で、従って左辺は必ず割り切れることに注意。
[準備2]問題から
c = a + b
でbを消去してcについて解くと
c = ((σ(a) - a)/(2n + 1)) (n^2)
という方程式。だからもし(σ(a) - a)が(2n + 1)で割り切れれば十分。
そこで、(σ(a) - a)が(2n + 1)で割り切れるようなa, nをみつける。
[手順1] テキトーな素数pを持ってくる。そして、
k = 1, 2, .... についてテキトーに(ふつうの人は順番にやるだろうが)
r = (p^(k+1) - 1)/(p - 1) = (1 + p + p^2 + ... + p^k)
が素数になるkをひとつみつける。
(たとえば
p=2ならk= 1, 2, 4, 6, 12, ...
p=3なら k=2, 6, 12, ...
p=5なら k=2, 6, 10, ...
)
p=2, k=1の場合以外、kは必ず偶数であり、かつ r>p であることは容易にわかるでしょう。
[手順2] 素数rは奇数だから
n = (r - 1)/2
は自然数。つまり
r = 2n+1
[手順3] 勝手な(0でない)自然数q、および「rとpを素因数に含まない勝手な(0でない)自然数」sを使って
a = (r^q)(p^k)s
とする。(もちろんq=1, s=1でも構わない。)
これでaはrで割り切れる。そして、
σ(a) = ((p^(k+1) - 1)/(p - 1)) ((r^(q+1)-1)/(r-1)) σ(s)
= r ((r^(q+1)-1)/(r-1)) σ(s)
だからσ(a)もrで割り切れる。
[手順4]
c = ((σ(a) - a)/r)(n^2)
b = c - a
No.1
- 回答日時:
a=117, b=63, n=6 とか?
ご質問の方程式を整理すると(c = a+b として)
(σ(a) - a)(n^2) = (2n + 1)c
これを満たすa, n, cを見つけたい。
素数pに対して
2n + 1 = (p^(2k+1) - 1)/(p - 1)
がpでない素数になるとき(たとえばp=3, k=1)
a = (2n+1)(p^(2k))
とすれば
σ(Π(p[j]^q[j]) = Π(p[j]^(q[j]+1) - 1)/(p[j] - 1)
を使って
σ(a) =(((2n+1)^2 - 1)/(2n)) (p^(2k+1) - 1)/(p - 1)
= (((2n+1)^2 - 1)/(2n)) (2n + 1)
なので σ(a) - a は(2n + 1)で割り切れるから
c = (n^2)(σ(a) - a)/(2n + 1)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
不等式ax<4-2x<2xの解が1<x...
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
線形計画法のシンプレックス法...
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
行列の問題
-
(x^2 -y)y'=xy-1
-
x(x^2+y^2+y)y'+x^3-xy^2-2yx^2...
-
エクセルにて、合計値→複数の項...
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
3次方程式の定数の範囲の問題で...
-
ゼロの概念発見以前について
-
2次方程式の問題なんですが
-
数学の問題が分からないので解...
-
高校3年の数学好きです。 フェ...
-
積分方程式の解の存在条件
-
必要条件、、十分条件、必要十...
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
-
数学の質問です。 2つの2次方程...
-
数列です
-
微分演算子でわからないんです...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
(x^2 -y)y'=xy-1
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
解なし≠解はない
-
数学II 三次方程式 x^3-5x^2+ax...
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
tanX=Xの解
-
2次方程式X^2-3X-1=0の2つの...
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
行列の問題
-
3次関数と直線が接する場合、...
-
<x+y=1 xy=1 を同時に満た...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
aの値に関係なくとよく問題で見...
-
適正解と最適解
-
二次不等式について
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
微分方程式で、分母=0の場合は...
-
答えを教えて
-
高校数学の問題について 2次方...
おすすめ情報