代数学についての問いです

有限次 Galois 拡大 L/K で Galois 群 Gal(L/K) が可解群になる例を教えたいただきたいです。(拡大次数が [L : K] ≤ 2 以外の例でお願いします)
また例として挙げた L/K に対する Gal(L/K) の計算についても説明していただければ嬉しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/29 16:28

よくある例で、 K を有理数体 Q とし、

L を方程式 x^5-1=0 の Q 上分解体とする
なんていかが？

標数 0 の体の代数拡大はガロア拡大である
ことが知られているから、 L = Q[x]/(x^5-1) に対して
Q 固定自己同型群 Aut_Q(L) はガロア群になる。

Gal(L/K) すなわち Aut_Q(L) を求めてみよう。
Q の代数閉包 C における x^5-1=0 の解集合は
S = { 1, ζ, ζ^2, ζ^3, ζ^4 } ただし ζ = e^(2πi/5)
であり、 L は添加拡大 L = Q(S) である。
L は Q-線型空間であり、Aut_Q(L) の元はその上の線型写像だから、
Aut_Q(L) の元 σ は S の各元の像 σ(ζ^k), k=0,1,2,3,4
を与えるとひとつに定まる。(任意に与えて良いわけではないが。)
σ(ζ^k) = (σ(ζ))^k なので、σ(ζ) の値のみで既に σ は定まる。
σ は Aut_Q(L) の元だから σ(x^5-1) = (σ(x))^5-1 であり、
σ(ζ) は S の 1 以外の元である。
σ1, σ2, σ3, σ4 ∈ Aut_Q(L) を σk(ζ) = ζ^k と置く。
σ(ζ^k) = (σ(ζ))^k と ζ^5 = 1 に注意して
Aut_Q(L) の群表を書いてみると、以下のようになる。
　　　σ1　σ2　σ3　σ4
σ1　σ1　σ2　σ3　σ4
σ2　σ2　σ4　σ1　σ3
σ3　σ3　σ1　σ4　σ2
σ4　σ4　σ3　σ2　σ1
この群は、有限体 F5 の乗法群であり、4次巡回である。
可解群の定義より、巡回群は可解群である。