変な世界での双子のパラドックス

現実の宇宙ではなく仮想の宇宙です。その宇宙は相対性理論は成立するとします。

その宇宙は膨張も収縮もせず、また、完全に平坦です。そして、構造は三次元トーラスになっています。ちなみに、二次元トーラスはドーナツの表面のような閉じた世界で、真っ直ぐいくともとのところに戻ってくるような世界です。ただ二次元トーラスは曲がっていますよね。しかし、三次元トーラスというのは、閉じているにもかかわらず空間が平坦なままなのだそうです。ゲームの世界で端っこと、反対の端っこがつながっているような感じです。

前置きが長くなりましたが、
そんな世界での双子のパラドックスをするとどうなるのかと思って質問したくなりました。

・・・・・
その宇宙で、双子の兄弟がそれぞれ宇宙船で亜光速で逆方向に等速直線運動をしています。

あるとき、兄弟はすれ違います。兄弟はどちらも20歳です。

ここからは、兄の立場にします。兄が40歳のとき、再び弟とすれ違いました。なぜ、スレ違うかというと、宇宙が閉じているからです(しかも平坦なまま閉じています)。

このとき、弟の年齢は40歳よりも若いでしょうか。それとも、兄と同じ年齢でしょうか。

それを確かめるために、すれ違うとき、兄は弟に無線で「僕はいま、40歳だけど、君は何歳か」と訪ねます。弟からはどんな返事がくるでしょうか。

普通の双子のパラドックスは弟が地球で待っていて兄は旅にでますが、兄は出発時と折り返し時と帰還時に加速度運動をするため2人の運動は対称ではありません。しかし、これの場合、対称です。

平坦な宇宙で等速直線運動をするというだけで、兄と弟は再開できてしまいます。

特殊相対性理論では、相手の時間が遅く進むのは、お互い様です。

兄からみると自分が40歳で、弟は40歳よりも若いし、弟からみると自分は40歳で兄は40歳よりも若いのではないでしょうか。

それが、再会できなければ、何の問題もないですが、この世界では(すれ違うとき)再会できてしまいます。

兄が「君は何歳だ？」と聞いたら、弟の返事はどんなものになるのでしょうか。

一方、二人は対称な運動をしているのだから、年齢がズレるのは変な気もします。


どうなるのか、教えてください。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  
  まず、兄弟が再会するためには閉じた宇宙がほしかったです。
  で、もしも、空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら、閉じているけど、よろしくありません。空間が曲がっている関係で、お互いに相手の年齢はズレていっても、宇宙を1/4周したあたりから、相手の年齢は自分に近付いてきて、スレ違うときには一致するような気がします。(たぶん、そうですよね)
  
  平坦ということにこだわったのは、一般相対性理論を考えなくていいように、完全に等速直線運動をさせたかったからです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 02:03

• ご回答ありがとうございます。
  
  逆方向に飛んでいると書きましたが、平坦な宇宙では等速直線運動と静止は区別がつかないのではないですか。運動は相対的だから、兄は自分が静止していて弟だけが(例えば)0.9999cで飛んでいると見るし、弟は自分が静止して兄が0.9999cで飛んでいると見るのではないですか。で、0.9999cで飛んでいる物体の時間はゆっくり進むのではないですか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 03:43

• ＞大域的(global)には区別ができるという話をしてます。
  
  つまり、その宇宙の絶対静止系みたいなものがあって、それに対する運動を考えるということですか。また、特殊相対性理論もうまく成立しないということですか。
  
  宇宙に方眼用紙みたいなものはないのに、どうやって、絶対静止系というのを定義するのですか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 10:29

• #4について。
  ＞前方と後方に同時に光を発射した時、それぞれの光が戻ってくるわけですが、必ずしも同時ではなく時間差があります。
  
  この理屈がわかりません。
  視点は兄なら兄においていいのですか。ここで、見立てとして、宇宙が空間的に同じものが繰り返していて、兄が分身の術のように複数いると見立てると、兄にとって、前にいる兄も後ろにいる兄も静止していると思います。そして、距離も前後で同じですよね。全てが静止し、同じ距離を一定の速度の光が進む時間は同じではないのですか。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 19:05

• ＞宇宙が膨張して兄弟が離れてまた、収縮に転じて再会する場合も、
  同じ時間経過してるので、同じ歳ですね。
  
  それはそうだと思います。膨張と収縮は、2人の間の空間の目盛りが増えたり減ったりするだけで、いわば、兄弟はほとんど同じ位置で互いに静止していたのと変わらないのではないでしょうか。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 23:00

• ＞反時計回り放った光が12時に到達するのは弟とすれ違った【後】の話です。・・・
  
  この一連の意味がわかりません。時計まわりと言っているのは周回の位置をみるための便宜上で、あくまでも運動としては直線運動でいいのですね。
  それはそれとして、
  兄からみて弟の速度をv(亜光速)とするとc＞vです。だから、どちら周りでも光が一周する時間よりも弟が一周する時間の方が少し長くかかるのではないですか。
  
  ＞兄が放った光は兄から見て弟の元に同時に届くでしょうか？
  
  弟には同時には届きません。弟を追いかける方向の光(時計まわり)は長くかかるし、弟の進行方向と逆の光(反時計まわり)は早く届きます。
  
  ＞弟視点にしたり光を弟が放っていた事にした時に結論は変わりますか？
  
  特殊相対性理論では結論は変わらないように思います。兄の場合と同じだと思います。
  
  それで、もし不都合が起きたらどう説明するかは私はわかりません

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:01

• 特殊相対性理論が成立する宇宙という設定です。ただし、構造が変なので、成立させられるかどうかは別です。そこが質問です。
  
  普通の特殊相対性理論の世界、すなわち、平坦で無限に広い宇宙なら、兄と弟がすれ違ったあとは、離れるだけの状態で、これの場合、二人の運動が対称であっても兄の視点で自分が40歳のとき、弟は21歳だったりしますよね。弟の視点でもそうですよね。これで問題ないのが特殊相対性理論です。あくまで、観測者視点だからです。再会することもないですし。
  
  この質問の場合、再びすれ違うことが発生してしまって、2人は同じ場所にいて、時間ロスなしに相手の年齢を聞くことができてしまいますが、特殊相対性理論によると、弟からは「21歳だ」という返事が来そうです。しかし、それはそれで、変な感じです。だから、よくわからなくて質問しています。

  No.13の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:16

• よく分からないので式で書きます。兄と弟は互いに相対速度vで逆向きに運動しているとします。兄からみても弟からみても宇宙1周の距離はＬとします(兄や弟の速度と宇宙一周の距離の関係はどんなときも同じか変化するかは私はわかりません。考える基準として宇宙を絶対静止みたいに想定できるのかもわかりません)
  
  ①兄の視点
  ・前方でも後方でも発射した光が兄に戻ってくる時間→Ｌ/c
  ・前方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c-v)
  (発射と同時に届く光ではなくて、その次に届く光)
  ・後方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c+v)
  
  ②弟の視点
  ①の文章で兄と弟を入れかえたものになります。
  
  何か問題はありますか。
  
  あと、相手方の時間遅れは兄からみて弟でも弟からみて兄でも
  t´=t√(1-(v/c)^2)なのが特殊相対論です。当質問の計算でこれを使うと不都合が起きたとしても、その解決法は私はわかりません。

  No.15の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 16:54

• 分身と書いたのは、宇宙の距離を把握するための便宜上のことです。実際には、兄はここに１人しかいません。１人しかいないので、兄の時間t=0は1通りしかありません。弟も同じです。

  No.17の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 21:02

• 冒頭に「互いに静止している2つの時計」を比べると書いてあるので流れでいくと、ここにいる兄と見えている兄の時計を比べる話かと思いきや、弟と比較しています。兄からみて弟の時計は運動しています。定義とは別の検証をやっていませんか。勘違いだったらすみません。
  
  もう、これで補足を使い果たしました。終わりそうにないのが残念です。
  
  質問に戻りますが兄弟の相対速度が0.99cだとし20歳の時にスレ違ったとします。すると特殊相対論では兄の視点で兄が40歳のときは弟は25歳ですよね。また、弟の視点で弟が40歳のときは兄は25歳ですよね。そのとき再びすれ違うようにします。至近距離ですれ違うという出来事は兄弟で共通しています。兄の視点で兄が40歳の時に弟に年齢を尋ねたら弟からは何歳という返事がきますか。
  
  これ、わかりません。結論としては、平坦トーラスで特殊相対性理論は成立すると思いますか。しないと思いますか

  No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/13 12:16

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/10 10:37

No.3へのコメントについて。

> 空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら

　おっしゃる通り、空間全体の平均曲率が0であることは肝心な仮定ですね。もうひとつ重要なのが、因果律が成り立つ宇宙だ、という仮定です。
因果律が絶対破綻しないという前提があるからこそ「矛盾している」という概念が意味を持つ。ゲーデル解ではそれすらも怪しくなるわけです。

> 一般相対性理論を考えなくていいように

　別に重力の話をしているわけじゃありません。ゲーデル解は、「少なくとも一般相対性理論には矛盾しない」という意味では自己矛盾していない時空のひとつである。それに比べれば、ご質問にある想像の時空はちっとも突飛な話じゃない、ということを言ったまでです。

　逆に、ご質問のように「時間にはループがなくて、空間だけが等方的なトーラス」である平均曲率0の時空なら、No.2で話は尽きていると思います。

No.49 回答者： eatern27 回答日時： 2023/02/04 12:15

ストレートに答えたくないのは、貴方が納得させるには前提知識の説明など膨大な説明が必要だからです。

貴方が納得できていない話の中に、トーラス上の相対論に特有の話は何一つありません。だからそこら辺の教科書などで前提知識を勉強する所から始めるよう言ってるんです。貴方にとってもこう言う場の回答より教科書の方がわかりやすいのは間違いないから、勉強を回答としているのです。

貴方が何を言おうが、貴方だけのために教科書をここに書くのは無理だという点に変更はありません。貴方はそのような事を求めてるつもりはなくても、求めているものはそうなっています。こういう時の貴方の考える規約違反にならな回答とはどういうものなんですかね。
私には無視しか思い浮かばないので以後そうする事にします。もう一つの方も何か応答はあったようですが、一緒に無視が楽でいいですね

No.48 回答者： eatern27 回答日時： 2023/02/03 18:45

どの回答の事を念頭に置いてるの分からない(探してもないですが)ので、何と違うと聞いてるのか全く分かりませんが、

基礎的な部分で誤解があった以上、その誤解がさらなる誤解を生んでる可能性もあるんですよ。だから一度勉強し直さなきゃね、と言ってるだけです。勉強したくない理由でもあるのですか？

No.47 回答者： eatern27 回答日時： 2023/02/02 20:06

#46お礼の最初のやつだけ。

他は先に勉強して下さい。

例えば1×5=5と計算している人がいて、後に「×という記号は前後の数字のうち大きい方を選ぶ記号だ」と考えている事が分かったとします。

最初の1×5=5は結果は正しいから何も問題ない、という話にはなりませんよね。

たまたまあっていた、または、何処かに書いてあってたのを書き写しただけのような状況で、掛け算の記号の意味を理解して1×5=5としていた訳ではないのは明白です。だから、1×5=5の部分も貴方の理解は間違ってる、という事を言ったのです。

No.46 回答者： eatern27 回答日時： 2023/02/01 12:18

貴方の問いに答えても意味はなさそうなので、同じ話を繰り返しますが

私に聞く前にまずは勉強して下さい。
質問のレベルに貴方の知識レベルが追いついていません。今の貴方が納得できるような説明は無理です。
何故その結論かと考えたいのなら前提知識を身に付けて貰うしかありません。

No.45 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/31 22:00

貴方が何を考えたいのかよくわかりませんが、私がゲームの世界を一周する話を持ち出したのは、

相対論では一周先の自分と同時刻かどうかという話の対比のためなので、ゲームの世界でも一周で戻ってこれるかという話を考えています(だから一周した後にどこにいるのかという事を聞いています)
あまり話を複雑にしないようにと設定も説明も端折ってますが細かい事が気になるのなら、y方向の周期性はない(時間軸方向の周期性はないので)という事にして下さい。

一般相対論云々について、答える意味が見いだせないのですが。人の話を鵜呑みにしないのは良い態度だとは思いますが、結局の所は単に腑に落ちないのを一般相対論で扱えないせいにしたいだけですよね？
気になるのならまずは(可微分)多様体の勉強をして下さい。

なお、私の書いたやり方は一般相対論に基づくアプローチとは異なります。が、一般相対論に基づくやり方に翻訳できる事、最終的に同じ結論になる事は自明なやり方です。

No.44 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/31 13:34

一つや二つではありませんが、決定打は同一地点同一時刻の件ですかね。

兄と弟が出会った時に兄の時計が○○だった、弟の時計が××だった
これらの見解が万人に(特に兄と弟に)共通である
というのが質問(双子のパラドックス)の前提にあります。
この前提が何故正しいのかを知らないまま、この前提は正しいと受け入れていた事になるはずです。

これは相対論のあちこちで使っている話(例えば光時計なら鏡での光の入射と反射が同時とか)ですが、ある程度理解が進めば当然の事として扱ってしまっていちいち言及していないこの方が多いでしょうが、初学者向けの教科書の最初の方には書いてある事の方が多いのでは？と思います。(具体的に調べた訳ではありません)

相対論の雰囲気だけ知りたいのならそこまで意識しなくても良いかなーとは思いますが、貴方が知ろうとしているレベルの話をするには欠かないでしょう。

No.43 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/30 19:41

んー、でも#41は結局分からないのですよね。

そもそもご自分で勉強して貰うのが先だと思ったのはトーラスの件だけが理由ではないので、トーラスの件が分かってるのだとしても、気になるならまずは勉強してくれという回答に変わりはありませんよ。

No.42 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/29 21:53

実質的にトーラスとは何か知ってる？と聞いているだけですが。

それすらわからないのだと理解しますが、前提知識が無い状態で考えても永久に理解できないでしょう。

ご質問の件について理解したいのなら最低でも幾何学(特にユークリッド幾何学、トーラスの初歩、ミンコフスキー幾何学)と、特殊相対論の勉強をしてください。
こう言う場で一から全てを説明するのは無理なので。

No.41 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/29 18:51

> x方向とy方向に進む割合が同じときに斜めに真っ直ぐ進みます。

x方向もy方向もつながっているなら、もとの位置に戻ります。

繋がってない場合はあるんですか？あるならその時は元の位置に戻るのですか？

x方向の周期をLとして、
(x,y)=(0,0)からy=ax上を進むと(x,y)=(L,aL)に辿り着きます。x方向に1周期分進んだのでx=0にワープするはずですがワープした後の座標はいくら？

(x,y)=(0,aL)からy=aL上を進むと(x,y)=(L,aL)に辿り着きます。x方向に1周期分進んだのでx=0にワープするはずですがワープした後の座標はいくら？

※ユークリッド空間がベースの話もままならないなら、相対論の話は諦めて下さい