f(x) = 2(x^2+6x+15)(5/6)^x-30 としたとき、 f(x)が最大となる正の整

f(x) = 2(x^2+6x+15)(5/6)^x-30 としたとき、
f(x)が最大となる正の整数xを求める。

f(x+1)-f(x)の符号考えることでx=7が最大となることが分かりますが、これを微分を使って解くことは出来るのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/11 18:16

実際に微分を使ってやってみる。

f’(x) = 2(2x+6)(5/6)^x + 2(x^2+6x+15)((5/6)^x)log(5/6)
　　　= 2{ (2x+6) + (x^2+6x+15)log(5/6) }(5/6)^x
　　　= 2{ log(5/6) x^2 + (2+6log(5/6))x + (6+15log(5/6)) }(5/6)^x
より、 f’(x) = 0 となる x は、二次方程式を解いて
x = { -(2+6log(5/6)) ± √{ (2+6log(5/6))^2 - 4log(5/6) (6+15log(5/6)) } }/{ 2log(5/6) }
　≒ 7.39228 or -2.42265
だから、 x > 0 での増減表は
x　0　　7.39228
f’　　-　　0　　　+
f　　↑　　極大　↓
となって、表より x が整数の範囲で最大なのは x = 7 または x = 8 のとき。
値を求めてみると
f(7) = 2(7^2+6・7+15)(5/6)^7-30
　　　≒ 29.1653,
f(8) = 2(8^2+6・8+15)(5/6)^8-30
　　　≒ 29.07228
なので、正の整数 x に対する f(X) 最大値は f(8).

理屈としてはこれで解けるが、
上記に何ヶ所か現れる ≒ の計算が難儀。
7 < { -(2+6log(5/6)) ± √{ (2+6log(5/6))^2 - 4log(5/6) (6+15log(5/6)) } }/{ 2log(5/6) }
　< 8 を示すのも、
f(7) > f(8) を示すのも、
手計算ではほぼ無理に感じるほど面倒臭い。(やってやれないこともないんだろうけど。)
私は、関数電卓に近似計算してもらった。

まあ、 f(x+1) - f(x) を考えたほうが現実的かと思う。

この回答へのお礼

非常に丁寧に解説していただき、本当にありがとうございました。やはり微分では複雑になってしまうのですね。とてもわかり易かったです。ありがとうございました。

お礼日時：2023/02/11 20:30

No.1 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/02/11 11:57

微分を使って解くことはできます。

まず、f(x)の微分をとります。

f'(x) = 2(2x+6)(5/6)^x-2(x^2+6x+15)(5/6)^x * ln(5/6)

このf'(x) = 0となるxを見つけます。

ここで、ln(5/6) < 0よりf'(x) = 0となるxは必ず存在します。

f'(x) = 0となるxをニュートン法等の方法を使って求めることができます。

得られたxが最大となる正の整数xであることが確認できます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
その方法で求めたxはおそらく小数の形だと思うのですが、その値から最大が7であることを示すにはどうすれば良いのでしょうか？
よろしくお願い致します。

お礼日時：2023/02/11 12:01