「sinxは多項式でないことを示せ」という問題です。どう手をつけていいかさっぱりです。どなたか助けて下さい。

A 回答 (6件)

つまり、1変数2次方程式の解は2個、1変数3次方程式の解は3個、・・・・・ですから、sinxがxのn次多項式ならsinx=0はxのn次方程式になり、解はn個以下のはず。

でもy=sinxは周期関数で、x=0以下無限個の解を持つから多項式ではありえない、という意味です。
数3だったら微分する手もあります。sinxを4回微分すすとsinxに戻りますが、多項式なら次数が下がっていくために多項式x=0以外はこういうことはおきません。
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こういうのは,どうですか



sin(x)がn次の多項式P(x)と書けたとする.
sin(x)=P(x)
この両辺をn+1回微分すると・・・

以降はご自身でお考え下さい.
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30数年前に名古屋大学の入試問題に出題された。



分かっている人には、こんな簡単な問題がということに
なろう。

しかし、高校生が三角関数をどう捉えているかを知る
良問とも言える。

n次方程式はn個の解を持つ、というのは大学生なら
当たり前だが、高校では習わないかも知れない。
しかしたいていの人が知っている。

他には、x→∞の極限を考えるというのはどうだろう。
周期性を述べるのも面白いかもしれない。

テーラー展開すれば多項式近似ができるのに、
やっぱりどこまでいっても多項式ではない、
というところが不思議といえば不思議。
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訂正。


会------>解
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多項式であればsinx=0は代数方程式となる。

よってたかだか有限個の会を持つはずであるが・・・・・
というのはいかがか。
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。誠に恥ずかしい話なのですが、回答も理解できません。なにしろ数学は苦手中の苦手なので・・・。もしよろしければもう少し詳しい説明をして頂けないでしょうか。

お礼日時:2005/04/17 23:11

多項式だったとすると…?

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