円運動からみた相手の時刻は定まらないというのは本当ですか。

自分は半径Rの円周を速度vで等速円運動をしています。相手は同じ円周を逆向きに速度vで等速円運動をしています。

すると、時々、自分と相手とは同じ位置ですれ違います。

あるとき、ずれ違ったときに自分と相手は共に手元の時計の時刻を0に合わせました。

それ以降について、自分の時刻tと相手の時刻τの関係って、(同じ位置にいないときも含めて)式で表すとどうなりますか。

これが定義が定まらないので、定義してと言われました。つまり、加速度運動をする人からみた相手の時刻の定義というのは特にないということでした。どういうことでしょうか。できないというのを聞きましたが、本当ですか。

質問者からの補足コメント

• 私は相対性理論はよく分かっていません。
  
  例えば、相手の時計の時刻を望遠鏡でずっと見ることはできます。実際に見るのだから、その時々で時刻はひとつに定まります。これをτとしたら、tとτの関係は式にできるのではないですか。
  
  
  しかし、その時刻は、その時刻の映像(光)が自分に届く時間分のタイムロスを含んでいます。
  そのタイムロスを省いたものが相手の時刻なのではないでしょうか。これは定義にはならないですか。
  
  
  また、相手がいるいないはおいといて、円運動をする自分からみた世界を直線の軸(ct,x.
  y)にして、それらを直交させるような時空図を描くことは可能ですか。もしも、可能なら、時間軸に平行な面が同時面ということにはならないのでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/27 22:59

• 訂正
  
  ✕時間軸に平行な面が同時面ということにはならないのでしょうか。
  
  ↓
  
  ○xy面に平行な面が同時面ということにはならないのでしょうか。

    補足日時：2023/02/27 23:02

• 位置をxとyにすると位置が周期的になってしまうので、動いた角度θ(θはいくらでも増える)を位置みたいな扱いにして、(ct,θ)を直交させて、そこに相手の世界線を描くことはできますか。

    補足日時：2023/02/27 23:14

No.5 回答者： d9win 回答日時： 2023/03/08 03:38

まず、私の#3, #4回答の間違いを訂正させて下さい。

#3回答の(補足)で「運動体と中心点との距離は一定なので、時間の遅延は運動体に発生しません」と書きましたが、時間の遅延は両者の距離と無関係で、相対速度だけで決まります。
そして、#4回答の「#2回答の始めの状況…」は「#3回答の始めの状況…」の間違いでした。また、(補足)中の「再びすれ違う時には、双方の時間は同じになると予想します」も間違いです。特殊相対性理論では移動体固有の時間間隔が延びることはあっても縮むことはありませんから、片方の運動体から見た他方の時間は遅れる一方です。

余り自信は無いのですが、逆方向に回転するA, B2つの円運動のx成分について特殊相対性理論を適用し得るとした計算を以下に示します。見難くて申し訳ないですが、t_AB等のABは下付け文字を示します。(なお、貴方からの類似質問が3月3日の本サイトにありますが、私はその#2回答にある式を理解できませんでした)
さて、相対速度がuである2つの座標系a, bが存在する時、互いに相手の系の時間は√(1 - u²/c²)倍だけ遅く進むように観測されることが特殊相対性理論の(光速が一定であることに並ぶ)原理です。すなわち、aから見たbの時間をt_baと表すなら、t_ba= t_a √(1 - v_x²/c²)が言えてaの時間t_aの√(1 - u²/c²)倍になります。以下、√(1 - u²/c²)をβ_uと表すことにすると、(1式)がいえます。
　t_ba= t_a β_u = t_a β²_u /β_u = [t_a - t_a (u²/c²)] /β_u　(1式)
2つの系の原点が一致する時間を基準(t_a= t_b= 0)にすると、両者がx_baだけ離れた時にはt_a = x_ba /uなので、(1式)はローレンツ変換の時間部分である(2式)に他なりません。
　t_ba= [t_a - (x_ba /u)(u²/c²)] /β_u= [t_a - x_ba (u/c²)] /β_u　(2式)

ところで、aとbの速度がそれぞれvと-vである時、両者の相対速度は2vではなく(v+v)/(1 + v²/c²)になります。それは、例えばaから見ると、まずbの運動の基準点(系)が動いており、bの-vという速度はその系の中で測られた値だからです。今回のように両者の時間の違いを問題にする場合にも、同じように基準点の時間を考えた上で他方の時間を考えねばなりません。
具体的に、半径r円の中心点を原点0として、φをAがx軸となす角度とし、Aは速度vで左回転しているとした上で、x方向成分だけを考えます。そして、例えばx_0Aとv_0Aで、Aを起点とした0点の位置xとx方向の速度v_xを示すことにします。
Aから見た0点の時間t_0Aは、(2式)のx_baをx_0Aに, uをv_0Aに変えた(3式)になります。
　t_0A= [t_A - x_0A (v_0A /c²)] /β_v0A　(3式)
そして、原点0から見たB点の時間t_B0は、(3式)のt_Aをt_0に, x_0Aをx_B0に, v_0Aをv_B0に変えた(4式)になります。
　t_B0= [t_0 - x_B0 (v_B0/c²)] /β_vB0　(4式)
また、基準点に注目すると、次の関係が成立しています。
　x_0A= x_B0= -r cosφ　　(5式)
　v_0A= v_B0= v sinφ　　(6式)
(4式)に(3式), (5式), (6式)を代入して、(7式)を用いるとt_B0をφの関数だけで(8式)と表し得ます。φはt_Aで一意に決まるので、(8式)はAから見たBの時間を表してます。
　t_A= (r/v)φ　　(7式)
　t_B0= [(r/v)φ- (r v/c²) sinφ cosφ {1 + √[1-(v²/c²) sin²φ]} / [1-(v²/c²) sin²φ]　(8式)
この(8式)をφについて0からπまで積分した値が、AからBを観測した際の半周分の時間遅れになります。それをAにおける時間で表すことはφ= (v/r) t_Aを代入すれば簡単にできます。
本問題に、このややこしい積分に値するほどの意味がそもそもあるのか、私は疑問に思いますが、考え方としては上述のようになると思います。

No.4 回答者： d9win 回答日時： 2023/03/03 13:03

その通りだと思います。

#2回答の始めの状況はその一例です。逆方向に進む運動体の関係は、特殊相対性理論で説明すればよいと考えます。すれ違った後に時間が経過しても、その時点でそれぞれが直線運動をしていると見なして、特殊相対性理論に則って処理すればよいのだと思います。(再びすれ違う時には、双方の時間は同じになると予想します)
しかしながら、円運動の特質を問題にするならば、#2回答の考え方も無視できないと考えます。
以上、#3のお礼への返信です。

No.3 回答者： d9win 回答日時： 2023/03/03 11:51

例えば高エネルギー加速器中の電子や陽子の周回軌道の一部は直線運動をしていると近似し得るでしょうから、時間の遅延等の特殊相対性理論に則った影響が現れると思います。

しかしながら、これら電荷の軌道は多くの加速電極や電磁石で制御されていて単純な円運動とは言えません。
一方、例えばクーロン力が働くだけの単純な円運動する電子軌道では、その一部を切り取って直線運動と近似することは出来ないと思います。なぜなら、この時の電子の運動は、中心正電荷の(電子と等量の)運動を無視できず、中心正電荷を含めた系全体の”同一時間で起きる”運動の一部と見なさねばならないからです。
そして、今回の質問の場合、逆方向に周回する運動それぞれの系は同一の時間で記述されて、双方の系の相対速度は0なので、両者の間に特殊相対性理論に則った時間差は生じないでしょう。このため、ある時点で時間を合わせれば、双方の系の時間は一致したまま変わらないと考えます。
(補足) 単純な円運動する系では、運動体と中心点との距離は一定なので、特殊相対性理論で起きるローレンツ収縮とか時間の遅延は運動体に発生しません。運動体に働く中心方向の加速度の存在も、そのことに影響しないと思います。

No.2 回答者： gyakutennzizou 回答日時： 2023/02/28 18:59

しかし、その時刻は、その時刻の映像(光)が自分に届く時間分のタイムロスを含んでいます。

そのタイムロスを省いたものが相手の時刻なのではないでしょうか。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

↑　同時の定義、同時とは接点で有る。

BY　逆転地蔵

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/02/27 21:15

同じ位置ですれ違ったときに時計を合わせたということは、自分と相手の時計の時間差が0であるということです。

以降、自分と相手は異なる位置であっても、それぞれの時計で測った時間の差が変化しないという前提があります。

しかし、等速円運動をしている場合、自分と相手の速度が等しく、向きが逆であるため、常に相対速度が0になる瞬間が存在します。つまり、その瞬間には自分と相手は互いに静止しているように見えます。この瞬間に時計を合わせることで、以降の時間差は変化しないことになります。

この状況下では、自分と相手の時刻tとτの関係を式で表すことはできません。加速度運動をする場合でも、時計の定義をすることで自分と相手の時刻の関係を式で表すことができますが、等速円運動の場合はそのような定義が存在しないため、式で表すことができません。