確率を教えてください。

n頭の馬が競争して、番号1の馬が1等になる確率はp(1)とします。また、番号2の馬が1等になる確率はp(2)とします。以下、同様に番号nの馬が1等になる確率はp(n)です。

また、1位からn位の順位は、(無限に競争した場合の期待値は)前述の確率が多い順になるとします。

その場合、
番号1と番号2の馬がそろって2位以内に入る確率は、どうなりますか。

質問者からの補足コメント

• くじ引きの中に、それぞれの馬の番号を書いた玉を確率に応じた個数ずつ入れて、ガラガラポンします。
  
  そして、最初に出てきた玉に書いてある番号の馬を1位とします。
  次に、出てきた玉を2位とします。(ただし、既に出てきた玉の番号がもう1度出てきたら、その場合はやり直します)
  
  この質問は、それと同等にはならないですか。

    補足日時：2023/03/11 16:33

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/11 18:17

＞ くじ引きの中に、それぞれの馬の番号を書いた玉を

＞ 確率に応じた個数ずつ入れて、ガラガラポンします。

それだと、１着と2着が同じ馬になったりしない？

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/11 13:35

番号nの馬が1位,番号mの馬が2位になる確率を q(n,m) として、

Σ[k≠n]q(n,k) = p(n) であることしか情報がないから
q(n,m) を求めることは不可能。 FA.
連立一次方程式が解ける条件について、線型代数の本を調べると吉。

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/11 13:13

N=2なら確率1、それ以外は計算不可。

No.4 回答者： qas2021 回答日時： 2023/03/11 13:05

No.2です。

訂正
（誤）確実に言えることは、p(1) か p(2) の小さい方の値以下であることだけです。
（正）確実に言えることは、p(1) + p(2) 以下であることだけです。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/11 12:56

計算不可能。

番号1が2位になる確率、番号2が1位になる確率、この2個が提示されていません。

No.2 回答者： qas2021 回答日時： 2023/03/11 12:19

確実に言えることは、p(1) か p(2) の小さい方の値以下であることだけです。

番号1の馬が2位になる確率は p(1) ではないし、番号2の馬が2位になる確率は p(2) ではないので　p(1) * p(2) という計算はできません。

さらに、「1位以外の馬が2位になる確率は、1位になる確率に比例する」という仮定でもおかないと計算できません。
この仮定の場合は
p(1) * p(2) *{1/(1 - p(1)) + 1/(1 - p(2))}
となります。

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/11 12:02

まず、番号1の馬と番号2の馬が2位以内に入る確率を求めるために、以下のような2つの事象を考えます。

1位に番号1の馬が入り、2位には番号2の馬が入る。
1位には番号2の馬が入り、2位には番号1の馬が入る。
これら2つの事象の確率をそれぞれ計算して、和を取ることで、番号1と番号2の馬がそろって2位以内に入る確率を求めることができます。

まず、1位に番号1の馬が入り、2位には番号2の馬が入る確率は、次のように計算できます。

P(1位に1番馬かつ2位に2番馬) = p(1) * p(2)

次に、1位に番号2の馬が入り、2位には番号1の馬が入る確率は、次のように計算できます。

P(1位に2番馬かつ2位に1番馬) = p(2) * p(1)

これら2つの確率を足し合わせると、番号1と番号2の馬がそろって2位以内に入る確率は、以下のようになります。

P(1位か2位に1番馬かつ1位か2位に2番馬) = p(1) * p(2) + p(2) * p(1)

したがって、番号1と番号2の馬がそろって2位以内に入る確率は、p(1) * p(2) + p(2) * p(1)となります。