放物線y=a(x-a)(x-b)について、頂点の座標を求めなさい。ただし、a≠0とし、a,bは実数の

放物線y=a(x-a)(x-b)について、頂点の座標を求めなさい。ただし、a≠0とし、a,bは実数の定数とします。
x＝a+b/2なのはわかりました。あとはyを求められれば頂点の座標が完成するのですが、途中計算がよくわかりません。
y=a(x-a)(x-b)にxの値を代入すればyが求められるのはわかりますが、代入しても答えに辿り着けません。途中計算を詳しくやってもらえないでしょうか。
↓私の途中計算です。
y=a(a+b/2-a)(a+b/2-b)
=a(a^2＋b^2/4+a-b/2-a+b/2+ab)
=a^3b^3/4+a^2b
となり、答えの-a/4(a-b)^2になりません。

No.7 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/21 23:10

＞ 展開しないってことは

＞ y=a{((a+b)/2-a)((a+b/2-b)} の状態から
＞ どうやって答えの形に持っていけばいいのでしょうか

a { ((a+b)/2 - a) (a + b/2 - b) } の状態からは、正解へはもっていけない。

a { ((a+b)/2 - a) ((a+b)/2 - b) } の状態からならば、
= a { ((-a+b)/2) ((a-b)/2) }
= a { (-1/2)(a-b) (1/2)(a-b) }
= a(-1/2)(1/2) (a-b)(a-b)
= (-a/4) (a-b)^2.

この回答へのお礼

やっとわかりました！ありがとうございました

お礼日時：2023/03/21 23:14

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/21 22:54

＞ やってること同じじゃないんですか？

No.3 は、(x-a)(x-b) の掛け算を展開したりしてないだろう？

この回答へのお礼

展開しないってことは
y=a{((a+b)/2-a)((a+b/2-b)} の状態からどうやって答えの形に持っていけばいいのでしょうか

お礼日時：2023/03/21 23:04

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/21 22:32

＞ y = a { (a^2 + 2ab + b^2)/4 -b(a+b)/2 -a(a+b)/2 +ab は

＞ どうしたら問題の答えである -(a/4)(a-b)^2 になるんですか？

No.3 のやり方がお勧めだって言ってんだけどな...
その続きをやるなら、

y = a { (a^2 + 2ab + b^2)/4 -b(a+b)/2 -a(a+b)/2 +ab }
　= a { (1/4)a^2 + (2/4)ab + (1/4)b^2 - (1/2)ab - (1/2)b^2 - (1/2)a^2 - (1/2)ab + ab }
　= a { (1/4 - 1/2)a^2 + (2/4 - 1/2 - 1/2 + 1)ab + (1/4 - 1/2)b^2 }
　= a { (-1/4)a^2 + (1/2)ab + (-1/4)b^2 }
　= (-a/4) { a^2 - 2ab + b^2 }
　= -(a/4) (a-b)^2.

途中を省略しようとして失敗することがなければ、
多項式の変形なんて誰でもできる。
= a { (a^2 + 2ab + b^2)/4 -b(a+b)/2 -a(a+b)/2 +ab }
のような展開を経由するのは、勧めないけど。

この回答へのお礼

no.3ってgootarohanakoさんのことですよね？
やってること同じじゃないんですか？何が違うのかわかりません...

お礼日時：2023/03/21 22:40

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/21 09:40

とりあえず、

x＝a+b/2 という式の書き方はやめよう。
括弧を使って x = (a+b)/2 と書くべき。
/ より先に + を計算するルールなんだとすると、
a+b/2-a は (a+b)/(2-a) の意味になってしまう。

括弧を付けて少し見やすく書くと、君の変形は
y = a( (a+b)/2 - a )( (a+b)/2 - b )
　= a( (a^2+b^2)/4 + (a-b)/2 + (-a+b)/2 + ab ).

最下行の第1項は、
( (a+b)/2 )^2 = (a^2+b^2)/4 としている(らしい)。
ここは
( (a+b)/2 )^2 = ( (a+b)^2 )/2^2 = (a^2 + 2ab + b^2)/4
となるはず。
(a+b)^2 は展開できる？

第2項と第3項は、
( (a+b)/2 )(-b) と (-a)( (a+b)/2 ) が
(a-b)/2 と (-a+b)/2 になったようだが、
何をどうしたのか正直判らない。
掛けずに足してしまったのだろうか？
ここは
( (a+b)/2 )(-b) = -b(a+b)/2,
(-a)( (a+b)/2 ) = -a(a+b)/2
になるはず。
項が二次式でない時点でオカシイと気づくはずだが...

おそらく、1行目から2行目への変形で
一気にいろんなことをやろうとし過ぎ。
計算は、途中結果を少しづつ書いていかないと
何をやったのか自分で分からなくなりがちだ。

( (a+b)/2 - a )( (a+b)/2 - b ) を
( ■ - ▲ )( ■ - ● ) と見て展開したかったのだとすれば、
1行目と2行目の途中に一旦
= ■^2 - ■▲ - ■● + ▲● という式を書いてから
各項 ■^2, ■▲, ■● , ▲● の中味を展開すれば、
上記のような間違いには自分で気づけたはず。

間違えた点については以上。
正解への道については...
足し算引き算どうしの積を展開する前に
括弧の中味を整理しておいたほうが、
展開で生じる項の個数が押さえられて扱いやすい。
No.3 のやり方がお勧め。

この回答へのお礼

y=a{(a^2 + 2ab + b^2)/4 -b(a+b)/2 -a(a+b)/2 +abはどうしたら問題の答えである-(a/4)(a-b)^2になるんですか？

お礼日時：2023/03/21 14:41

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/03/21 07:50

この放物線はグラフを描くと、ｘ軸と（a,0)と(b,0)で交わることはいいですか？頂点のｘ座標はaとｂのちょうど中間にある(グラフをよく見てください）。

よって頂点のｘ座標は (a+b)/2で、y座標はこれをもとの式に代入して
y=a[(a+b)/2 - a)][(a+b)/2 - b]=-(a/4)(a-b)^2
となるでしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/21 00:40

y = a(x - a)(x - b)　　　　　　①

　= a[x^2 - (a + b)x + ab]
　= a{[x - (a + b)/2]^2 - (1/4)(a + b)^2 + ab}
　= a{[x - (a + b)/2]^2 - (1/4)[(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab]}
　= a{[x - (a + b)/2]^2 - (1/4)[(a^2 - 2ab + b^2]}
　= a{[x - (a + b)/2]^2 - (1/4)(a - b)^2}
　= a[x - (a + b)/2]^2 - (a/4)(a - b)^2

従って、頂点の座標は
　( (a + b)/2, -(a/4)(a - b)^2 )


もちろん、①に x = (a + b)/2 を代入しても求まりますよ。
y = a[(a + b)/2 - a][(a + b)/2 - b]
　= a[(-a + b)/2][(a - b)/2]
　= -(a/4)(a - b)^2

あなたは、テキスト文で書くときの式の書き方を間違えていますね。