整数問題４

x, y の方程式 3x+2y=n を満たす正の整数 x, y がちょうど10 組あるような
整数 n のうち最小の値を求めよ.

補足

合同式でも考えてみましたが、上手くいかず
一次関数と見立てても煩雑になるばかり、、、
識者の方の考え方を教えてください

質問者からの補足コメント

• 

  こんにちは。
  
  いつもお世話になっております。
  
  質問ですが
  
  >2(k+9)<n<3k
  
  この、k+9 は何処から来たのですか？
  
  教えてください
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/02 17:20

• 

  皆様のお陰で答案を作成する事が出来ました
  
  ご評価、ご指導ください

  
    補足日時：2023/04/03 06:15

• 

  syotao先生
  
  おはようございます
  
  ご回答ありがとうございます
  
  大変役に立ちました
  
  今回の工夫は　x+y=k の利用です
  
  容赦なく
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/03 06:19

• 

  お初です
  
  宜しくお願い致します
  
  シンプルな回答ですね
  
  私は、そのようには解けませんでした
  
  以下のように考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/03 06:24

• 

  ありものがたりさん
  
  こんにちは。
  
  いつもお世話になっております。
  
  皆さんのご回答を参考に、以下の答案を作成する事が出来ました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/03 06:28

• 

  詳しいご解説ありがとうございます。
  
  本当に感謝いたします。
  
  質問ですが、ご指摘部分を改めるとして、答案の⑤も間違いですか？
  
  また、どの様に
  >20≦k≦29
  
  は、導かれたのですか
  
  ご足労をかけますが、何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/03 22:44

• 

  おはようございます
  
  ご丁寧にありがとうございます。
  
  前回の質問でありました、私の答案の⑤
  
  と、その先の議論は正しいでしょうか
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/04 06:19

• 

  詳しくご回答ありがとうございます
  
  要は、私は、丁度 10 組になる k は　19≦ k <20 に存在し
  貴殿は　k=20 で、丁度 10 になると仰りたいのですね
  
  熟考してみたいと思います
  
  今日は、体調不良で、ご返信は明日以降に致します
  
  その際はよろしくお願いします。
  
  from minamino

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/04 17:08

• 

  こんにちは
  
  返信が遅くなりまして申し訳ございません。
  
  新たに答案を書き直しました
  
  また、補足が尽きそうなので
  
  新たな投稿をいたしました
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13419230.html
  
  皆様のお陰です
  
  では、ご評価、ご指導ください

  
  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/06 11:43

• 

  syotao 先生、こんにちは。
  
  病み上がりです
  
  先生のおっしゃる通り
  
  >おもしろいのはｎ＝60のときｋ1＝21、ｋ2＝29で①にふくまれる整数が
  また9個にへってしまうんですね。このへんがこの問題の複雑なところ
  でしょうか
  
  これを見て、前回の答案を書き直しました
  
  また、補足の回数が尽きかけてますので
  
  新たに、投稿しました。
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13419230.html
  
  では、私の答案です、ご評価下さい

  
  No.15の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/06 11:49

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2023/04/02 18:10

条件の不定方程式の一般解は

ｘ＝ｎ-2ｋ、ｙ＝-ｎ＋3ｋ　ｋは任意整数。
条件からｘ＞0、ｙ＞0だから不等式
ｎ/3＜ｋ＜ｎ/2が出てくる。この不等式を満たす整数ｋがちょうど
10個であるためには　この区間の長さｎ/2－ｎ/3＝ｎ/6が
9≦ｎ/6＜10　であることが必要、つまり54≦ｎ＜60
このうち
ｎ/3＜ｋ＜ｎ/2　をみたす整数ｋがちょうど10個なのは
ｎ＝59　のみです。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/02 16:38

あるx=p、y=qが式を満たすと、

x=p+2、y=q-3
も式を満たす。

だからyの最大が31のとき
y=31、28、25、22、19、16、13、10、7、4、1
となって
初めて11組になる。

x=1、y=31の時nは最小だから
n=3・1+2・31=65

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/02 16:32

3x+2y=n

3(n-2k)+2(3k-n)=n

x=n-2k
y=3k-n

2k<n<3k

2(k+9)<n<3k
2k+18<n<3k
2k+19≦n≦3k-1
2k+19≦3k-1
20≦k
k=20
2*29=58<n<3*20=60
∴
n=59

3(59-2*20)+2(3*20-59)=3*19+2*1=59
3(59-2*21)+2(3*21-59)=3*17+2*4=59
3(59-2*22)+2(3*22-59)=3*15+2*7=59
3(59-2*23)+2(3*23-59)=3*13+2*10=59
3(59-2*24)+2(3*24-59)=3*11+2*13=59
3(59-2*25)+2(3*25-59)=3*9+2*16=59
3(59-2*26)+2(3*26-59)=3*7+2*19=59
3(59-2*27)+2(3*27-59)=3*5+2*22=59
3(59-2*28)+2(3*28-59)=3*3+2*25=59
3(59-2*29)+2(3*29-59)=3*1+2*28=59

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/02 14:23

誤字訂正：

これを満たす整数 k がちょうど 10 組
であるような n は、n=11 のみ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/02 14:22

一次不定方程式 3x+2y=n の一般解は、

教科書などにも書かれている解法によって　←[1]
x=n+2k, y=-n-3k (kは任意の整数) となる。
この x, y がどちらも正になる条件は、
連立不等式 0<x=n+2k, 0<y=-n-3k を解いて
-2k<n<-3k. これを満たす整数 n がちょうど 10 組
であるような n は、n=11 のみ。最小も何も。

[1]を書いておくと...
3x+2y=1 を満たす x, y の例として
3・1+2(-1)=1 がある。
辺々 n 倍すると 3n+2(-n)=n.
これを元の方程式 3x+2y=n と辺々引き算すると、
3(x-n)+2(y+n)=0.
移項して 3(x-n)=-2(y+n) と書けるが、
これの左辺は 3 の倍数、右辺は 2 の倍数だから
3 と 2 の最小公倍数 6 を使って
3(x-n)=-2(y+n)=6k (kは整数) と書ける。
変形して、x=n+2k, y=-n-3k.

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/04/02 14:13

この問題は、整数 n に対して、3x + 2y = n を満たす正の整数 x, y の組がちょうど 10 個存在するような最小の n を求める問題です。

まず、3x + 2y = n という式を変形して、y を解くと、y = (n - 3x)/2 となります。ここで、n と x が決まれば、y も求めることができます。

この式を満たす正の整数 x, y の組がちょうど 10 組あるような最小の n を求めるために、n を 1 から順番に増やしていき、n に対して式を満たす正の整数 x, y の組がちょうど 10 組になるような最小の n を探します。

以下の手順で n を求めることができます。

n = 1 から始めます。
n を固定し、x を 1 から順番に増やしていきます。y を求め、その値が正の整数であれば、その x, y の組をカウントします。
x が n/3 を超える場合、3x が n より大きくなるため、式を満たす正の整数 x, y の組は存在しなくなります。
カウントされた正の整数 x, y の組が 10 組に達したら、そのときの n が答えです。

以下に、Python のコード例を示します。

ニシキヘビ
Copy code
count = 0
n = 1

while True:
found = False
for x in range(1, n // 3 + 1):
y = (n - 3*x) / 2
if y > 0 and y.is_integer():
count += 1
if count == 10:
print(n)
found = True
break
if found:
break
n += 1

このコードを実行すると、最小の n が求められます。