素数

素数は無限にあるとの証明を見たときは感動しましたが　現在　何個見つかっているんでしょうか。それを見つけ出す　公式のようなものは　存在しているんでしょうか。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/12 17:28

現在、実用的な暗号通信に使われている RSA暗号の鍵は、

1024ビット（十進 208桁）から 2048ビット（十進 617桁）です。
数学で扱う巨大素数と比べると、かなり小さいですね。
前述の M51は、 89589933ビットですから。

No.6 回答者： mimon01 回答日時： 2023/04/12 06:59

No.1です。

巨大な素数は、暗号化などに利用されますが、中途半端な素数は、あまり使いみちがありません。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/11 13:10

今のところ、2018年に発見されたメルセンの素数

M51 = 2^89589933 - 1 じゃないかと思うんですが、
こういうのは日進月歩なので、本当に最新かどうか
自信はありません。

n 番目の素数を n の入った数式で表す明示公式は、
理論的には、リーマンのものが知られています。
あくまで理論的な話で、実際に計算しようとすると
式に登場する定数が全ては求まっていないので、
使えないんですけどね。
興味があれば、「リーマン予想」で検索してみましょう。

計算可能な公式としては、多変数多項式で
全ての変数に整数を代入すると素数か負数かの値になる
ものがいくつか知られています。素数は順不同に現れるし、
いつ素数でいつ負数かも予めは判らないんですけどね。
こちらは、興味があれば「素数生成多項式」で検索です。

この回答へのお礼

そうなんですか　ありがとう　すんごい数ですね　よく聞く　リーマンとも関係しているんですね・・　小生は数学者でもないが　歩きながら　単純な証明を鑑賞するのが　考えて　だから　そうなんだとわかればうれしい感じがするんですが　そんなネタサイトがありましたら　お教えください。

お礼日時：2023/04/12 06:51

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/11 12:58

n番目の素数を表す式を作った人類は未だ居ません。

式が出来る為には、数学に新概念が必要であり、出来た時には数学は飛躍的に進歩すると思います。

これとは違いますが、250年ほど前にウィルソンと言う大学生が、素数であれば以下の式が成立つ事を見つけています（逆も成立ちます)。

(n-1)!+1がnで割り切れればnは素数である。

このnに、順に自然数を代入して計算すれば、その自然数が素数になる事が解ります。

問題は、(n-1)!が天文学的数に成るため、実用には耐えない点です。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/11 10:44

> 素数は無限にあるとの証明を見たときは感動しました

感動する前提は理解することのはず。一番かんたんな証明は　「任意の素数pについて p! + 1は素数である。(∵ p!はpの階乗 1×2×…×p。だから p! + 1を2〜pのどれで割っても1余る。）だからいくらでも素数はある」でしょう。で、この証明の中に「それを見つけ出す　公式」がひとつ書いてある。

この回答へのお礼

そうなんですか　ありがとう　。P=....　にもっていけばいいのかな・・・。

小生は数学者でもないが　歩きながら　単純な証明を鑑賞するのが　考えて　だから　そうなんだとわかればうれしい感じがするんですが　そんなネタサイトがありましたら　お教えください。

お礼日時：2023/04/12 06:53

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2023/04/11 06:16

最大の素数は、色々な人が探していて、しょっちゅう更新されていますが、その個数については、素数定理に基づき近似的に推測するしかありません。

素数を見つけ出す公式が発見されたら、ノーベル賞間違いありません。
発見したと言った人は今まで多くいますが、すぐに覆されています。
法則がありそうなのに見つからない所が、素数の面白いところでもあります。

この回答へのお礼

そうなんですか　ありがとう　素数がどこにあるかがわかったら　数学の世界　どう変わるんですか？

お礼日時：2023/04/12 06:54