dz/{(p-qz)z}=1/p{1/z+q/(p-qz)}dz この変形の途中式を教えてください。

dz/{(p-qz)z}=1/p{1/z+q/(p-qz)}dz
この変形の途中式を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/20 20:30

dz は除いて

　1/{(p - qz)z}
を考えて、これを部分分数に分解すればよいです。

これは定石通り

　1/{(p - qz)z} = [A(p - qz) + Bz]/{(p - qz)z}
と置いて
　= A/z + B/(p - qz)
にします。

そうすると、分子は
　A(p - qz) + Bz = 1
ですから

　Ap - Aqz + Bz = 1
→　Ap + (B - Aq)z = 1　　　　①

つまり、これが z の値によらず恒等的に成り立つには
　Ap = 1　　　　　②
　B - Aq = 0　　　　③
これを解いて
　A = 1/p
③に代入して
　B = Aq = q/p


あるいは、この場合には分子が「1」になる（分子から z の項が消える）ことから

　1/{(p - qz)z} = C(p - qz + qz)/{(p - qz)z}
　　　　　　　　= C/z + Cq/(p - qz)

で分子が
　C(p - qz + qz) = Cp = 1
になることから
　C = 1/p
ということでもよいです。

「部分分数への分解」は、下記などにあるように「通分の逆」ですから、どのような分数に分けたいのかは最初から決まっています。
あとは、どうすればそこに行き着くのかを考えればよいだけ。

部分分数への分解の基本は下記などを参考に。
↓
https://manabitimes.jp/math/755

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。助かりました。

お礼日時：2023/04/20 21:43