数学A 確率 白玉5個、赤玉n個の入っている袋がある。 この袋の中から、2個の玉をとりだすとき、白玉

数学A 確率
白玉5個、赤玉n個の入っている袋がある。
この袋の中から、2個の玉をとりだすとき、白玉1個、赤玉1個である確率をPnで表すことにする。(n≧1)
Pnを最大にするnを求めよ。

この問題を丁寧に分かりやすく教えて下さい
何故そうなるかも教えてくれると有り難いです

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/23 10:25

No2です。

後半書くの忘れました(^_^;)
私は差分でやります。
P(n+1)-p(n)=10(n+1)/{(n+6)(n+5)} - 10n/{(n+5)(n+4)}
={10(n+1)(n+4)-10n(n+6)}/{(n+6)(n+5)(n+4)}
=10(-n+4)/(分母は省略)

つまりP(3)まではPは増えるがP(4)=p(3)、P(5)<P(4)で後は減る一方なので
n=3、4

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/22 18:23

P(n) = (5C1)(nC1)/{ (5+n)C2 } =10n/((n+5)(n+4)).

ここまでは 数A ないし 算数。

P(n) を最大化するのは 数I の範囲で、
P(n+1)/P(n) - 1 = { 10(n+1)/((n+6)(n+5)) }/{ 10n/((n+5)(n+4)) } - 1
　　　　　　= (n+1)(n+4)/((n+6)n) - 1
　　　　　　= { (n+1)(n+4) - (n+6)n }/((n+6)n)
　　　　　　= { -n+4 }/((n+6)n).
この式から
n < 4 のとき P(n+1) > P(n),
n = 4 のとき P(n+1) = P(n),
n > 4 のとき P(n+1) < P(n)
だと判るので、
P(1) < P(2) < P(3) < P(4) = P(5) > P(6) > P(7) > ... > P(n) > ...

P(n) が最大になるのは、n = 4, n = 5 のときである。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/22 16:46

1個ずつ順に戻さず取り出すと考えて

1個目が白で2個目が赤の確率
5/(n+5) × n/(n+4)=5n/{(n+5)(n+4)}

1個目が赤で2個目が白の確率
n/(n+5) × 5/(n+4)=5n/{(n+5)(n+4)}

合わせて10n/{(n+5)(n+4)}

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/22 16:45

白玉5個、赤玉n個の入っている袋がある。

この袋の中から、2個の玉をとりだすとき
1個目が白玉である確率は
5/(n+5)
2個目が赤玉である確率は
n/(n+4)
だから
白赤の順に取り出す確率は
5n/{(n+5)(n+4)}

1個目が赤玉である確率は
n/(n+5)
2個目が白玉である確率は
5/(n+4)
だから
赤白の順に取り出す確率は
5n/{(n+5)(n+4)}
だから

白玉1個、赤玉1個である確率は
Pn
=5n/{(n+5)(n+4)}+5n/{(n+5)(n+4)}
=10n/{(n+5)(n+4)}
=10{5/(n+5)-4/(n+4)}

f(x)=5/(x+5)-4/(x+4)
とすると

f'(x)
=-5/(x+5)^2+4/(x+4)^2
={4(x+5)^2-5(x+4)^2}/{(x+5)(x+4)}
={4(x^2+10x+25)-5(x^2+8x+16)}/{(x+5)(x+4)}
=(4x^2+40x+100-5x^2-40x+80)/{(x+5)(x+4)}
=-(x^2-20)/{(x+5)(x+4)}

1≦x≦4<√20のときf'(x)>0だからf(x)は増加
√20<5≦x≦4のときf'(x)<0だからf(x)は減少

P4=5/9
P5=5/9
だから

n=4
または
n=5