複素解析の教科書の問題で略解しかないので、 (3)(4)の解き方を教えてください

複素解析の教科書の問題で略解しかないので、
(3)(4)の解き方を教えてください

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/02 22:22

誘導を全く無視した (4) の別解.

sin が好都合なので, ガウスに倣えば
和の 2倍が 0 になる
ことがすぐにわかる. 当然和そのものも 0 だ.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/01 13:38

ω が 1 の原始 n 乗根であることに注目しよう。

(3)
x = 1/(1 - ω), 1/(1 - ω^2), ..., 1/(1 - ω^(n-1))
を解に持つ代数方程式を作れば、
解と係数の関係から与式の値が求められる。

y = 1 - 1/x で変換すると
y = ω, ω^2, ..., ω^(n-1) になるが、この y は
y^n = 1 の解から y = 1 を除いたもの。
つまり f(y) = (y^n - 1)/(y - 1) = 0 の解である。

x の方程式に直すと、
0 = f(1 - 1/x)
　= { (1 - 1/x)^n - 1 }/{ (1 - 1/x) - 1 }
　= (1/x^n){ (x - 1)^n - x^n }/{ (x - 1) - x }
　= (-1/x^n){ (x - 1)^n - x^n }.
⇔　(x - 1)^n - x^n = 0.
この式は x の n-1 次方程式であって、二項定理より
n-1 次項の係数は -n,
n-2 次項の係数は +nC2.

よって、解と係数の関係より
与式 = -(nC2)/(-n) = (n-1)/2.

(4)
オイラーの等式 e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ) より、
与式は、ω + ω^2 + ... + ω^(n-1) の虚部である。
この小問の答えは、(1) の結果から派生する。

上記の f(y) を展開すると
f(y) = y^(n-1) + y^(n-2) + y^(n-3) - ... となるから、
解と係数の関係より ω + ω^2 + ... + ω^(n-1) = -1.

よって、与式 = Im(-1+0i) = 0.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/01 05:40

(3)

　1/(1-w^k)=1/{1-cos(2πk/n)-isin(2πk/n)}
　={1-cos(2πk/n)+isin(2πk/n)}/{(1-cos(2πk/n))²+sin²(2πk/n)}
　={1-cos(2πk/n)+isin(2πk/n)}/{2-2cos(2πk/n)}

・・・半角・倍角の公式

　={2sin²(πk/n)+i2sin(πk/n)cos(πk/n)}/{4sin²(πk/n)}
　=(1/2){1+icos(πk/n)/sin(πk/n)}
　=(1/2){1+icot(πk/n)}

ここで
　cot(π(n-k)/n)=cot(π-πk/n)=-cot(πk/n)
したがって
　Σ[k=1,n-1] cot(πk/n)=0　　　　　(n:奇数)
　　　　　　　　　　　 =cot(πm/2m)=cot(π/2)=0 (n=2m : 偶数)
ゆえに、
　与式=Σ[k=1,n-1] (1/2){1+icot(πk/n)}
　　　=(n-1)/2


(4)

(1)の
　w=exp(i2π/n)
　w+w²+…+wⁿ⁻¹=w(1-wⁿ⁻²)/(1-w)=-1
から、両辺の虚部をとれば
　sin(2π/n)+sin(4π/n)+…+sin(2(n-1)π/n)=0