複素解析の教科書の問題で略解しかないので、 解き方を教えてください

複素解析の教科書の問題で略解しかないので、
解き方を教えてください

質問者からの補足コメント

• 解と係数の関係を具体的にどのように使うのでしょうか

    補足日時：2023/05/01 02:20

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/01 13:36

x = ω1, ω2, ..., ωn　⇔　x^n = α だから、

代数方程式の解と係数の関係より
ω1 + ω2 + ... + ωn = 0,
ω1・ω2・...・ωn = α(-1)^n.

ここまでシンプルな問題だと
解と係数の関係自体を証明しろって言ってる
ような気もするが、だとしたら
n に関する帰納法かな。

解と係数の関係全体は、
証明以前に結果を記述するのが
Σ,Π 入り乱れて煩瑣でしょうがないけど、
解の和と積だけなら帰納法でわりと簡単に書ける。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/01 10:23

複素数aのn乗根をω0,ω1,…,ω(n-1)とすると

x^n-a
=(x-ω0)(x-ω1)…(x-ω(n-1))
=x^n-(ω0+ω1+…+ω(n-1))x^(n-1)+…+{(-1)^n}ω0ω1…ω(n-1)

だから

ω0+ω1+…+ω(n-1)=0

{(-1)^n}ω0ω1…ω(n-1)=-a
ω0ω1…ω(n-1)={(-1)^(n-1)}a

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/01 01:58

解と係数の関係でも使ったら?

この回答へのお礼

解と係数の関係を具体的にどのように使うのでしょうか

お礼日時：2023/05/01 02:23