点(x y)が不等式(x-3)²+(y-2)²≦1の表す領域上を動くとする。この時、x²+y²の最大

点(x y)が不等式(x-3)²+(y-2)²≦1の表す領域上を動くとする。この時、x²+y²の最大値を求めよという問題について(答えは14+2‪√‬3)
x²+y²=r²とする。この時r²が最大となるのは、(x-3)²+(y-2)²=1と円x²+y²=r²が内接するときだと書かれているのですが、なぜなんですか？図をかいてみても理解できないです。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/01 23:10

> (x-3)²+(y-2)²=1と円x²+y²=r²が内接するときだ

とか言われたって、日本語として意味をなさんですな。

　図↓の塗ってある範囲が「不等式(x-3)²+(y-2)²≦1の表す領域」。だから「円x²+y²=r²に円(x-3)²+(y-2)²=1が内接する」ようにr²を決めたときの、両者の接点(x,y)でのx²+y²(すなわちr²)が最大値です。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/05/09 14:34

＞図をかいてみても理解できないです。

どんな図が 出来たのでしょうか？
No2さん Ｎo3さんの回答の様な 図が書けたのでしょうか。
この様な図になったなら 見ただけで 理解できる筈ですが。

計算で 答えを出すなら、
(X-3)²+(Y-2)²=1 の円の中心と 原点との距離に、
(X-3)²+(Y-2)²=1 の円の半径を 足した 長さの
2乗が 答えになりますね。

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2023/05/06 19:40

2つの円の位置関係は、次のように場合分けされます。

2つの円の半径をr₁、r₂ (r₁<r₂)、中心間の距離を d とすると、
(1) 離れている ( d>r₁+r₂ )
(2) 外接する ( d=r₁+r₂ )
(3) 2点で交わる ( r₂－r₁<d<r₁+r₂ )
(4) 内接する ( d=r₂－r₁ )
(5) 含まれる　 ( d<r₂－r₁ )

(x-3)²+(y-2)²=1 は中心(3,2)、半径１の円
x²+y²=r² は中心(0,0)、半径 r の円

条件より、円 x²+y²=r² は不等式 (x-3)²+(y-2)²≦1の表す領域を
通るので、(1) と (5) の場合は不適です。

d=√13 , r₁=1、r₂=r なので、
(2) √13=1+r　から、r=√13－1
(3) r－1<√13<1+r から、√13－1<r<√13+1
(4) √13= r－1 から、r=√13+1

したがって、r² が最大となるのは内接する場合で、
r²=(√13+1)²＝14+2‪√‬3

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/03 06:14

点(x,y)が

(x-3)^2+(y-2)^2≦1の表す(図の黄色の)領域
を
動くとき
点(x,y)と原点(0,0)との距離

r=√(x^2+y^2)

が
最大になる点(x,y)は

(x-3)^2+(y-2)^2=1
と
r^2=x^2+y^2
との
接点になる

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/01 22:43

(x-3)²+(y-2)²≦1 が楕円、√(x²+y²) が原点から (x,y) までの距離なのは解る？

これが解れば、図を書いてみても理解できないってことは無さそうな気がするんだが。
x²+y² が同じ値をとる (x,y) は原点中心の円周上にあり、
(x,y) が原点から遠ざかれば x²+y² の値は大きくなる。
(x-3)²+(y-2)²=1 と x²+y²=r² が接するところよりも x²+y² が小さければ
より大きい r に対しても (x-3)²+(y-2)²=1 と x²+y²=r² は交点を持ち、
接するところよりも x²+y² が大きければ
(x-3)²+(y-2)²=1 と x²+y²=r² は交点を持たない。
それは、接するところでの r² が x²+y² の最大値だってことだよね？