不等式の足し算について

Question

a,bは正の整数で、a,bの桁数を求める問題です。
２３≦4log[10]a + 4log[10]b＜２４・・・（１）
１５≦4log[10]a - 4log[10]b＜１６・・・（２）
（１）＋（２）より
３８≦8log[10]a＜４0
10^38≦a^8＜10^40・・・（３）
（３）を1/8乗して
10^(19/4)≦a<10^5
10^4<a<10^5
したがって、aは５桁の数である。
そこでなのですがこれを答えとしてよいのでしょうか？
不等式どうしの足し算（四則演算すべても）は必要十分条件ではないですよね？そこが引っかかるのですが・・・。

つまり、
「２３≦4x+4y＜２４・・・（１）
１５≦4x-4y＜１６・・・（２）
（１）＋（２）より
３８≦8ｘ＜４0
19/4≦ｘ＜5・・・（答）
（１）（２）⇔（答）ではないのにこれをｘの範囲として良いのでしょうか？」という質問です。

zabuzaburo · Accepted Answer

「お礼」を拝見しました。

>どういうときに「必要条件」が答えになって、どういうときに「必要十分条件」が答えになるのでしょうか？

実は過去の質問で同様の内容についてお答えしたことがありますので、
参考URLの回答No.4も参考にしてください。
これだけで回答を放り出すのも無責任な気がしますので、
apple_teaさん向けに補足するとすれば……。

不等式だから必要条件でよい、といった問題ではありません。
ご質問の問題はa,bの桁数を伏せてありますが、証明問題で言えば
「a,bがこういう条件を満たしているとき、aは●桁、bは▲桁であることを証明せよ」
という問題に相当します。これを見ると、
出題自体が「『PならばQ』を証明せよ」という構造になっており、
「『QならばP』も証明せよ」とは要求されていないわけですから、
推論の過程で十分性が失われる箇所があっても構わないわけです。
もちろん、十分性を失うというのは、
問題に与えられた情報の一部を「捨てる」ことに
相当しますから、むやみやたらと条件を緩めてしまっては
(戦略の問題として)問題が解けなくこともあります。
何人もの方が「不等式の扱いには注意を要する」と指摘して下さっているのは、
「数学的には何も間違ったことを書いていないのに、肝心の示したいことが示せない」
といった状態におちいることがあるからです。

>方程式では必要十分条件を求める

これは、その通りです。
「方程式を解く」という言葉の定義が
「その方程式を満たす『全ての』値を求める」ということですから、
元の方程式と解は必要十分でなければなりません。
これは不等式でもそうです。「不等式を『解け』」と言われたら、
もとの不等式と必要十分な形で解を書かなければなりません。
しかし、ご質問の問題では
「こういう不等式が成り立っているとき、そこからどんなことが言えるか？」
ということであって、「不等式を解け」というのとは話が違いますね。

>ただ単に19/4 ≦ x < 5とあったとき、2通りの意味で解釈できると言うことですね

だからこそ、今の文脈ではどちらの意味なのか、
書くときも読むときも常に注意を払う必要があります。
変域を「19/4 ≦ x < 5」と書くのは、
「19/4 ≦ x < 5の範囲内の全ての実数をくまなく動く」
という表現の省略形だと考えられます。
私たちはこの慣習のおかげで、いちいち厳密に書くことを強要されずに済む反面、
他人の書いたものを読むときには頭で補う必要があるわけです。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=245615

oshiete_goo · Answer

zabuzaburoさんの解説で既にお分かりとは思いますが, 
「xの変域が19/4≦ｘ＜5」
⇔(変数)xの取り得る値の集合が{x|19/4≦ｘ＜5}
⇔xは 19/4≦ｘ＜5 の範囲の値はすべて取り得るが, 他の値は取らない.
という意味ですね.

不等式一般の話を始めるとややこしいので, 今問題になっているx,yの一次式の場合に限って話を進めます.
＞線形結合って何でしょうか？
ベクトルのところでおそらくご存知の一次結合(=線形結合=linear combination)のことで，先ほどの例だと
2x+y=α(x + y)+β(x - y) （α,βは実数の定数）
の形です．これを解くとα＝3/2,β=1/2 なので，
(1)×(3/2)・・・-3/2＜(3/2)x+(3/2)y＜3/2
(2)×(1/2)・・・-1/2＜(1/2)x-(1/2)y＜1/2
を[不等号の向きをそろえて]辺辺加えると
-2＜2x+y＜2
が正しく得られます．
条件式がもっと多かったり，-2＜x+y＜5, -3＜x+y＜3 みたいなことになると，話はそれほど簡単でないことはもう了解済みと思いますが，
今，特に問題の
a＜px+qy＜b, c＜rx+sy＜d の形[ただしps-qr≠0]ならば，（図を描かなくても）同様に処理できることが分かるでしょう．(等号が入ってもほぼ同じですね．)
 
＞「xの変域としては(3)は正しいし，(5)も正しくyの変域を表しています」というのが、わかりません。

xy平面に(1)，(2)を図示してみればわかるように，ひし形(実は正方形)の領域(ただし内部のみ)で，x,yの変域は-1＜x＜1, -1＜y＜1 です．でも「-1＜x＜1 かつ -1＜y＜1 」という正方形の領域は元と同値ではないわけです．

これまでの皆さんの回答で多分お分かりのように，不等式で与えられた条件式は一般的には扱いに注意が必要で，変域を求める場合も「本当にその範囲の値をすべて取り得るか」の確認をしないとまずいでしょう．しかし，それほど複雑でないときは図示したりすれば分かる場合が多いし，上のような例であれば，機械的に求めてもよいので，いたずらに恐れることなく，(でも抜かりなく)勉強を進めていってください．

zabuzaburo · Answer

まずは準備から。
(A)「x ≧ 3 のとき、y = x^2 の変域を求めよ」と聞かれれば、y ≧ 9 ですね。
(B)「x = 3 のとき、y = x^2 の値を求めよ」と聞かれれば、y = 9 です。
変域というものは普通は(A)のように広がりを持っていますが、
(B)も、「9」という一点だけでできた変域(9 ≦ y ≦ 9)を
求めていると考えられます。したがって、
いわゆる求値問題は、変域を求める問題の一種である
と考えることもできます。

さて、「求値問題では必要十分条件を求める」と教わっているし、
変域を求めるときも必要十分条件を求めるのだ、というのが
apple_teaさんの現在の認識ですね。
しかし、上の(A)(B)では変域(あるいは値)が正しく求まっているにもかかわらず、
「y ≧ 9」は「x ≧ 3」の必要十分条件ではないし、
「y = 9」も「x = 3」の必要十分条件ではありません。
xが負の場合だって考えられるからです。

「正しい変域」と「必要十分条件」とを混同されているのです。

ご質問の不等式でも、かりに正当な手続きを踏んでxの変域が出たとしても、
そこにはyは一切登場しないはずですから、
もとの不等式(yが含まれている)と必要十分になるはずがないのです。
No.3の回答に対する補足の末尾に書かれた疑問も、
ここのところを充分に理解されていないために生じているわけです。

正しく変域を求めるとはどういうことなのか、考えてみましょう。
ご質問の不等式ではグラフを描けば簡単に求まるのですが、
あえて計算で求めます。
4x = X、4y = Yと書いて見やすくして、Xの変域を求めてみましょう。
(1)23 ≦ X + Y < 24
(2)15 ≦ X - Y < 16

たとえばXは19という値を取れるでしょうか？
X = 19としたとき、
(1)は23 ≦ 19 + Y < 24、すなわち4 ≦ Y < 5となり、
(2)は15 ≦ 19 - Y < 16、すなわち3 < Y ≦ 4となります。
これらを同時に満たすYがあれば、Xは19という値を取ることができます。
この場合、Y = 4とすれば良いですから、「19」という値はXの変域に含まれます。
ここで重要なのは、Yの具体的な値ではなく、
とにかくXに「19」という値を取らせるYが「存在する」ことです。

それでは、21という値ならどうか？
同様にすると(1)は2 ≦ Y < 3、(2)は5 < Y ≦ 6
となってしまい、これらを同時に満たすYは存在しません。
したがって「21」は変域から外されているはずです。

こういう作業を無限に繰り返せば、個々の値が変域に含まれるかどうかは
判定できますが、一気に変域を求めるために一般化しましょう。
「Xはkという値を取りうるか？」
(1)は23 ≦ k + Y < 24、すなわち 23 - k ≦ Y < 24 - k
(2)は15 ≦ k - Y < 16、すなわち k - 16 < Y ≦ k - 15
この2つの領域が重なり合うところがあれば、
Yをその範囲内の値にすることによってXはkという値を取ることができます。
しかし両者が全く離れていたら、Xはkという値を取ることができません。
数直線を書いて考えると、
「『23 - k ≦ k - 15』かつ『k - 16 < 24 - k』」のとき、両者は重なり合います。
これを解くと 19 ≦ k < 20となります。すなわち、
Xの変域は「19 ≦ X < 20」であり、x(= X/4)の変域は「19/4 ≦ x < 5」です。

上で見てきたことから分かるように、「19/4 ≦ x < 5」は
「(1)かつ(2)」自体と必要十分なのではなく、
「(1)かつ(2)を満たすyが存在する」という条件と必要十分なのです。

さて、ここからはまた別の話です。
この問題では(1)+(2)で得られた不等式が
xの変域を与える不等式と一致しましたが、これはたまたまです。
すでに指摘されているように、変域を求めるという観点からは
こんな幸運なことが常に起こるわけではありませんから、一般には誤りです。
しかし、ここで注意して欲しいのは、
「xの変域は『19/4 ≦ x < 5』である」というのと、
「xは『19/4 ≦ x < 5』を満たす」というのは全く違う、ということです。
前者は範囲をはみ出すことがないのはもちろん、
範囲内の値を全て取ることがある、という厳しい条件ですが、
後者は単にその範囲内に収まっている、というだけの条件です。
ですから、「(1)+(2)より、xの変域は『19/4 ≦ x < 5』である」というのは誤りでも、
「(1)+(2)より、xは『19/4 ≦ x < 5』を満たす」というのは全く問題ありません。
必要条件おおいに結構です。ここからさらに範囲を緩めて
「xは『4 < x < 5』を満たす」として「aは5桁である」と結論するわけで、
数学の推論というのはもともと必要条件でしかないものがほとんどです。

Singollo · Answer

> 求値問題では必要十分条件を求めると習っ
> たのですが、別に 必要条件だけでもいい
> んですか

不等方程式では臨機応変です
この場合オミットされたのはx(ひいてはa)とy(ひいてはb)の関係、つまり、yはxと無関係に勝手な値を取れるわけではない、という点です
x単独についてはこれ以上絞りようがありません
同様にyについても絞込み、最終的に求められた範囲(つまり解があるとすればこの中という範囲)の(x、y)が元の式を満たすかの確認、という手順になると思います

oshiete_goo · Answer

No.2（yohsamkaiさん）が指摘してらっしゃるように，完全に一般的には「いえない」というのが数学的には正しい答ですね．
ただし，突き詰めると，ほとんど何も出来なくなってしまうので，この質問の状況で，解の存在をある程度前提にして良いと判断される時の対処としては，質問者のやり方で不都合は無いでしょう．

oshiete_goo · Answer

ご質問に対する直接の答はどちらもYESです．不等式の計算は注意を要することは, 質問者の認識どおりで，一般的には危険です(必要条件に過ぎない場合があって正しくない)が，１）最初の問題は整数aなので，間に合っていて十分です．２）次の例もｘｙ平面に図示して見れば分かるように，「xの変域」の意味では正しいです(x=19/4も，x=4.99999なども全てとりうる)．質問者は大丈夫かも知れませんが，典型的な例を． [危険な例] -1＜x + y＜1　・・・（１） -1＜x - y＜1　・・・（２）このとき2x＋yの変域を求めよ． (危ない解答) {(1)+(2)}／2　より　-1-x+y>-1　⇔　-1＜-x+y＜1 ・・・（４） {(1)+(4)}／2　より　-1

yohsamkai · Answer

基本的には間違いです。たとえば、
０≦ｘ・・・（１）
２≦ｘ・・・（２）
という不等式システムがあって、両方た足して
２≦２ｘ  → １≦ｘ
とやっているのが間違っているのと同様です。

但し、不等式系に解があるかどうかというのは同値になります。(Fourier-Motzkinの消去法というのが、実際に解があるかどうかを調べるときに使えます。）

Singollo · Answer

(1)&(2)⇔(答)でなくとも
(1)&(2)⇒(答)ではある(必要ではないが十分ではある)ので、それでいいと思います
要するに、出された条件を使い切ってはいないが、aについてこれだけは言える、という答なわけです

不等式の足し算について

「お礼」を拝見しました。

zabuzaburoさんの解説で既にお分かりとは思いますが,

まずは準備から。

> 求値問題では必要十分条件を求めると習っ

No.2（yohsamkaiさん）が指摘してらっしゃるように，完全に一般的には「いえない」というのが数学的には正しい答ですね．

ご質問に対する直接の答はどちらもYESです．

基本的には間違いです。

(1)&(2)⇔(答)でなくとも

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