不等式

正の整数xは7の倍数である。xが15以上16以下であるとき√xは何通りの値を取り得るか？

という問題です。この問題で、不等式を作った後、二乗していいのでしょうか。不等式を二乗すると同値性を保つことができなくなるのではないか、と考えてしまうので解答の仕方、実際の答えがわかりません。
解答の途中経過も含めて教えてくれる方お願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/23 22:38

　質問の趣旨から、＃２／＃５さんと同様に、「√xが15以上16以下であるとき」の誤りであると考えます。

　このことを不等式で表すと、次のようになります。

　　１５≦√ｘ≦１６　　・・・・・　☆

＞等式を二乗すると同値性を保つことができなくなるのではないか

　なぜそう思われたのでしょうか。

　不等号の向きが変わったり不明になったりするのは、次の場合です。
　（０を掛けた場合はすべてが等号で結ばれますが、ここでは意味がありませんので割愛します。）

　　(a)　＜負の数＞　を掛けたとき
　　(b)　不等号の向きと合わない大小関係の＜正の数＞を掛けたとき
　　　　例）　（０＜）ａ＜ｂ＜ｃ、ｘ＞ｙ＞ｚ（＞０）　で　ａｘ，ｂｙ，ｃｚ　としたとき


　式☆で自乗すると、次に示すように、３つの式にすべて＜正の数＞を掛けて、また掛ける数も不等号の一致している数を掛けているので、不等号の向きが変わらず、同値性を保つことができます。

　　１５には　１５という＜正の数＞を掛けている（１５≦√ｘ）
　　√ｘには　√ｘという＜正の数＞を掛けている（１５≦√ｘ≦√１６）
　　１６には　１６という＜正の数＞を掛けている（√ｘ≦１６）


　従って、解答は次のようにしたらよいと思います。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　題意より、
　　１５≦√ｘ≦１６

　この不等号の３つの式は、いずれも正なので、自乗しても不等号の向きは変わらないため、次のように書き換えられる。

　⇔２２５≦ｘ≦２５６　　・・・・・（１）
　　　　　　　　　　　　　　（「⇔」は同値を表す記号です。）

　ｘは７の倍数の正整数なので、式（１）の範囲で７の倍数を探すと、

　　ｘ＝２３１，２３８，２４５，２５２

と4つの値がある。

　　（答え）　４通り

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


　なお、別解として、4通りの値があることを次のように求める方法もあります。

　　２５６÷７＝３６　あまり　４　　　・・・・　１～２５６までの７の倍数の個数（商）を求めています。
　　（２２５－１）÷７＝３２　あまり　０　　　・・・・　１～２２４までの７の倍数の個数（商）を求めています。

　　３６－３２＝４　　　　　　　　　　・・・・　２２５～２５６までの７の倍数の個数（商）を求めています。

　　（答え）　４通り

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました。
別解の方も拝見させて頂きました。この方法はわかりやすいです！
確かに同値であるようですね。では逆に、２２５≦ｘ≦２５６から１５≦√ｘ≦１６に戻るにはどういった計算をして戻るのでしょうか。

お礼日時：2010/01/25 01:51

No.7 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/25 02:30

　＃６です。

＞では逆に、２２５≦ｘ≦２５６から１５≦√ｘ≦１６に戻るにはどういった計算をして戻るのでしょうか。

　これは、『　Ａ^2≦Ｂ^2　（ただし、A,B≧０）　⇒　Ａ≦Ｂ　』の関係を使っています。
　証明は簡単です。

　　B^2-A^2
　＝(B+A)(B-A)≧０

　∴B-A≧０　　　（∵　B+A≧０）
　∴A≦B

この回答へのお礼

分かりやすい解説ありがとうございます。
完全に同値だということがわかり、とてもすっきりとした気分です。
数学をもっと勉強しなければならない、と感じました。

お礼日時：2010/01/26 01:03

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2010/01/23 22:03

Ｎｏ．２の者ですが、

xが15以上16以下であるとき
は、おそらく
√xが15以上16以下であるとき
の間違いだと思います。

この回答への補足

その通りです！お手数掛けます。。

補足日時：2010/01/23 22:13

No.4 回答者： f272 回答日時： 2010/01/23 21:35

問題文を読むと，xは正の整数で，7の倍数で，15以上16以下ということになっていますが，そんなxは存在しません。

この回答への補足

問題文を書き間違えてしまいました。すみません。。

補足日時：2010/01/23 22:14

No.3 回答者： edomin7777 回答日時： 2010/01/23 21:35

「正の整数xは7の倍数である。

xが15以上16以下であるとき√xは何通りの値を取り得るか？」

正の整数で７の倍数で15以上16以下

何個あると思う？

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2010/01/23 21:34

こんばんは。

なかなか鋭いですね。

大学の、しかも高レベルの数学になると、
√ｘ　と　－√ｘ　の区別の考え方が、高校までの数学とは違ってくるそうです。
（私自身は大学の数学で学びませんでしたが）

しかし、高校までであれば、根号の前にマイナス符号が付いていない実数の平方根は、値がプラスのものとして扱います。
√２　＝　1.4142・・・
－√２　＝　－1.4142・・・

√ｘ　の前にはマイナス符号が付いていませんよね。
ですから、２乗をしても構いません。

そして、不等式なので、実数同士を比較していることになります。
ですから、ｘ≧０　です。

よって、
２２５　＜　ｘ　＜　２５６
としてよいです。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/01/23 21:34

>正の整数xは7の倍数である。

xが15以上16以下であるとき
こんな数はありません。写し間違えていませんか。

この回答への補足

「正の整数xは7の倍数である。√xが15以上16以下であるときxは何通りの値を取り得るか？」
の間違いです！！！
みなさんごめんなさい。

補足日時：2010/01/23 22:12