数学の条件、につきまして

基本かも知れませんが、以下に自分の現状の理解を書きます。ご意見願えませんか？高校数学を論理学の立場から見たものとして、お願いします。

軌跡の問題や、恒等式の問題、色々ありますが、結局これらは何かしらの変数に関する条件になっている。
ここで言う条件とは、論理学で出てくる量化記号で意味が限定されていないような変数を含み、これらの等式や、不等式などがそれに挙げられる。
例えば、見慣れているx>=0 や、x=1なども非常に簡単ではあるが、xに量化記号が付いてないので、これらは条件の一種である。これらは、更に言うとこのままでは真偽が決まらないので、このままでは命題ではないが、変数の値が定まることで命題にもなる。実数の範囲で考えるとして、前者はxの値が0, 1, 100などでは真を取り、-100などでは偽となる。後者は、xの値が1の時のみ真であり、他の値のときは全て偽である。このように不等式や、等式は条件の一種であり、xに値を代入する（値を決める）ことで真偽が定まる命題になる。これで良いでしょうか？（xに100を代入すると、100≧0となり、真の命題ですよね？）

おかしな表現や、誤解してることがありましたら、教えてもらえないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  末尾のカッコ内の100≧0は、その前に書いてます不等式x≧0のxに100を代入したものです。
  
  ちなみに、x=1の方のxに、100を代入すると、100=1となり、明らかに偽の命題であり、xに1を代入した1=1のみが、真の命題になるかと存じます。
  
  基礎かも知れませんが、ご意見願えませんか？

    補足日時：2020/08/17 20:17

• 

  x≧0は、xは0より大きいか、あるいは等しい。
  x=1は、xは1に等しい。
  という述語を表していて、これらの中でxは、量化記号（全称記号、存在記号）で修飾されていない、開いた表現である。
  なので、このままでは、普通真偽は決まらないので命題ではないが、例えばxとして1を取ると、1≧1と、1=1という真なる命題になり、
  -5を取ると、-5≧1, -5=1のような偽の命題になる。
  このような理解でしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/17 21:47

• なるほど。質問するときに、変数と書くべきか少し気になってました。文字、という言い方にしてしまおうかとも思ったのですが、ご指摘覚悟で変数にしました。ありがとうございます。
  
  （連続）関数の場合、xは文字通り定義域内を連続的に変化させて、それに応じて、従属変数yも地域の中を連続的に変化する。そのxに応じたyの変化を定量的に捉える方法の一つが傾きを求めて解析する、微分ということでしょうか？
  この場合、xもyも変化量⊿x, ⊿yを考えてることからも、変化する数ですよね。なので変数と言う言い方が適切。
  
  一歩、方程式、恒等式の方は、等式（式と式を等号でつないだもの。）の一種である。
  方程式は、あるxが存在してf（x）=0を意味している。（解についての存在命題）恒等式は、全てのxについて、f（x）=0（解xについての全称命題）。（ここでfは、左辺と右辺のxの式を左辺に移行してまとめたものとしました。）

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/17 21:57

• 続き
  このように、方程式、恒等式は、議論の対象としてる領域から、何かしら元を取ってくることで等式が成立するという性質のものである。
  方程式の場合は、うまく選ばないと等式が成立しない。
  恒等式の場合は、どれを選んできても等式が成立する。
  しかし、議論領域が仮に実数のような連続的に数が続いてるような集合であったとしても、方程式、恒等式において含まれる文字を議論領域の中を変化させてるのではなく、
  あくまでも、xは分かってないだけであり、議論領域の中の何かしらの数を仮に表したものに過ぎない。（値は未知で決まってる）
  そのxとして、方程式の場合はうまく見つけたものでないと等式が成立しなくて、恒等式の場合は、仮にxで表したものとして、それがどれであっても等式は成立する。
  なので、変化させる数、というよりは、分かってないだけで値は決まってる。議論領域の中の数のどれかだ。というニュアンス。未知数が適切？

    補足日時：2020/08/17 22:08

• このようなニュアンスでしょうか？
  細かいことでもご指摘下さい。正確に理解したいです。

    補足日時：2020/08/17 22:09

• お返事ありがとうございます。
  すみません、NO2へのコメントって、どれになります？
  x≧0は、xは0より大きいか、あるいは等しい。
  x=1は、xは1に等しい。
  という述語〜という補足投稿でしょうか？
  
  以下、本返信へのコメントさせて下さい。
  
  方程式は、恒等式の対比で存在命題かな？と思ってました。確かに、問題として、方程式x^2+1=0を求めよ、と言われたら解の列挙を要求されてて、述語（何何は云々である。）ではないですね。問題文の一部分のx^2=0という方程式そのものは、開いた述語「x^2は0に等しい。」でしょうか？
  もちろん、定義域からこれを満たす定項aを持ってくれば真になりますね。
  恒等式f（x）=0の場合は、全てのxについて、f（x）=0である。という述語ですね。全称命題
  
  このようなことをおっしゃってますか？理解力に自信ない所があり、確認させてもらえたら助かります。勉強になります。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/17 23:03

• すごく勉強になります。
  
  ベストアンサーを入力して、本件を閉じようかと思います。その前に、もう一つ以前から疑問にあった質問をさせてもらえないでしょうか？
  
  述語論理に、議論領域（論議領域？同じものでしょうか？）という言葉があります。
  対象として考えるものの範囲と、解説されてるかと思われます。
  この言葉と、よく高校数学で耳にする関数の定義域や値域の違いというか、関係についてです。はじめは両者は同じかな？と思ってましたが、以下の考えに至りました。
  
  例えば、実数上の関数y=f（x）の最大値、最小値を求める問題を考えます。この問題は、最大値、最小値となる、x,yの条件を答える問題と解釈できると思います。
  
  この時、問題文にあるように、実数上の、とあります。
  これは、R →　R と記号で書かれるかと思われます。正にこれが、議論領域が実数（R）ではないのかな？と思うのですが。
  
  →続き

    補足日時：2020/08/18 09:44

• 続き
  つまり、この問題（与えられた題全体。つまり、関数の最大値、最小値の条件）を議論する上で、未知数なり、変数としては、xもy実数を取るものとして、この範囲を前提として議論の対象とする。
  
  その上で、関数を考えるので必然的に定義域も地域も実数Rの範囲で、考察することが必要になる。
  
  更に言うと、定義域も地域も、この論議領域の部分集合という事になる。
  考えてる関数にとって、都合のいい範囲を議論領域から抜き出して作った集合が定義域。それに応じて決まる議論領域から抜き出して出来る集合が値域。
  
  
  まとめますと、
  記号、R→Rは、定義域も地域も、議論として実数から実数の対応関係を考えてますよ。の意味になる。しかし、各々R全体を取るわけではない。実際の定義域は、例えば分数関数などだと、少なくとも特異点を除いたものになるので、Rそのものではない。
  このように思うのですが、ご意見願えませんか？

    補足日時：2020/08/18 09:54

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/08/17 22:28

No.2へのコメントについて。

仰る通りです。

ついでに：
fを定義域Dで定義された関数だとして、「恒等式 f(x)=0」とは ∀x(f(x)=0)という閉じた論理式そのものです。
　一方、「方程式 f(x)=0」の場合には、これ自身は論理式ではない。これは通常「解の集合 S= { x | x∈D ∧ f(x)=0} の外延（つまり要素を網羅したリスト）を求む」と言っているんですから、論理の中には収まらない話です。（ときには「Sの要素（解）を一つ求む」 と言ってることもあって、それはその解をこれからどう使うつもりか、という文脈に依るわけですが。いずれにせよ）ここで { } 内に出てくる(x∈D ∧ f(x)=0)は開いた論理式、すなわち述語です。この述語をφ(x)と書きましょうか。
　で、定項aが一つの解であれば、当然、φ(a)である。この定項aを、それが具体的に特定できていないうちは「未知数」と呼ぶわけですが、これは方程式の場合に限ったローカルな話であって、実際、φ(x)が（等式ではなく）たとえば不等式f(x)≧0とかになれば、もはや「未知数」とは呼ばれない。なので、こんな用語は、論理学の観点からはどうでもいいことです。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2020/08/18 17:38

> 議論領域

　述語論理では「対象」（定項や変項が指すもの）の範囲を想定して、これを議論領域と呼ぶ。何の話に論理を適用するかによって議論領域は異なるわけですが、それは述語論理の知ったことではない。
　で、（普通の）数学では対象は集合です。たとえば自然数1とは集合{∅}のこと。二項関係は集合Xと集合Yの直積集合X×Y={<x,y> | x∈X ∧ y∈Y}の部分集合のこと。関数f: X→Y は関係であって、かつ、述語 ξ(f) = ∀x(x∈X ⇒ (∃p(<x,p>∈f)∧ ∀y∀z(<x,y>∈f ∧ <x,z>∈f ⇒ y=z))) を満たすもののこと。
　ですから実数全体の集合をRとするとき、f(x)=1/xという関数は f: R＼{0} →R であり、すなわち f⊂(R＼{0})×R ∧ ξ(f)。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2020/08/18 08:41

No.3へのコメントについて。

まさしく仰る通りです。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/08/17 21:24

量化記号が出てくるのは述語論理ですね。

ご質問で「条件」と仰っているものを、論理学では「述語」と呼びます。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2020/08/17 21:08

細かい話しですが、恒等式(&方程式)に出て来る文字式は「変数」ではありません。

むしろ「定数」に近いものです。


方程式に出て来るxやy等は未知数すなわち「いくらかはまだ分からないが値は既に決まっているもの」であって、変数のように「値が変化するもの」ではありません。方程式と関数は見た目は同じですが、意味するところは全く違います。