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A1とA2が平面上の凸集合であるとき、A1とA2の共通部分A1(Uの逆の記号、共通部分を表す記号)A2は必ず凸集合となる。このことを証明する問題なのですが・・・1.2の数字は小さい数字です。問題文も理解できない私です。凸集合とは何でしょうか?なんだかさっぱりです。ちょこっとでも分かった方はおばかな私に教えて下さい。お願いします。

A 回答 (3件)

背理法で証明します。



(仮定)A1とA2が平面上の凸集合であるとき、A1とA2の共通部分A1∩A2は凸集合でないとする。

A1∩A2は凸集合でないので、A1∩A2上のある点P,Qを結ぶ線分PQ上にA1∩A2上でない点Rが少なくともひとつ存在する。点Rは、(1)A1∪A2に含まれるか、または(2)A1にもA2にも含まれない。

(1)の場合:点RがA1に含まれると仮定すると、点RはA2に含まれないので、A2上のある点P,Qを結ぶ線分PQ上にA2上でない点Rが少なくともひとつ存在することになり、A2が凸集合であることと矛盾している。(RがA2に含まれる場合も同様)

(2)の場合:点RはA2に含まれないので、A2上のある点P,Qを結ぶ線分PQ上にA2上でない点Rが少なくともひとつ存在することになり、A2が凸集合であることと矛盾している。(ここはA1でも同じ)

よって、最初の仮定は誤り。

おわかりいただけましたでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。自分でももう一度考えてみます。

お礼日時:2001/09/16 08:18

凸集合の定義は、過去ログにあります。



参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=120246
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y>=xの2乗 の関係を満たす点(x、y)の


存在する領域をDとする。異なる点P,QがDに
含まれるとき、線分PQもDに含まれる。
このような集合Dを凸集合という。

前使ってた数学の辞書をみてみたら、
こんなのがのってました。
詳しいことは忘れちゃいました・・・。
あんまり役にたたなそうでごめんなさい。
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