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A1とA2が平面上の凸集合であるとき、A1とA2の共通部分A1(Uの逆の記号、共通部分を表す記号)A2は必ず凸集合となる。このことを証明する問題なのですが・・・1.2の数字は小さい数字です。問題文も理解できない私です。凸集合とは何でしょうか?なんだかさっぱりです。ちょこっとでも分かった方はおばかな私に教えて下さい。お願いします。

A 回答 (3件)

背理法で証明します。



(仮定)A1とA2が平面上の凸集合であるとき、A1とA2の共通部分A1∩A2は凸集合でないとする。

A1∩A2は凸集合でないので、A1∩A2上のある点P,Qを結ぶ線分PQ上にA1∩A2上でない点Rが少なくともひとつ存在する。点Rは、(1)A1∪A2に含まれるか、または(2)A1にもA2にも含まれない。

(1)の場合:点RがA1に含まれると仮定すると、点RはA2に含まれないので、A2上のある点P,Qを結ぶ線分PQ上にA2上でない点Rが少なくともひとつ存在することになり、A2が凸集合であることと矛盾している。(RがA2に含まれる場合も同様)

(2)の場合:点RはA2に含まれないので、A2上のある点P,Qを結ぶ線分PQ上にA2上でない点Rが少なくともひとつ存在することになり、A2が凸集合であることと矛盾している。(ここはA1でも同じ)

よって、最初の仮定は誤り。

おわかりいただけましたでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。自分でももう一度考えてみます。

お礼日時:2001/09/16 08:18

凸集合の定義は、過去ログにあります。



参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=120246
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y>=xの2乗 の関係を満たす点(x、y)の


存在する領域をDとする。異なる点P,QがDに
含まれるとき、線分PQもDに含まれる。
このような集合Dを凸集合という。

前使ってた数学の辞書をみてみたら、
こんなのがのってました。
詳しいことは忘れちゃいました・・・。
あんまり役にたたなそうでごめんなさい。
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Q凸集合

次の問題を教えて下さい。基本的ですいません。
よろしくお願いします。

----------------------------------
以下の集合が凸集合であることを示せ
A={ x^2+y^2≦r^2 }∈R^2 (rは定数)
B={ x^2+y^2≦z } ∈R^3
----------------------------------

Aベストアンサー

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)-(ad+be)^2=(ae-bd)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+td}^2+{(1-t)b+te}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ad+be)+t^2(d^2+e^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(d^2+e^2)}+t^2(d^2+e^2)
≦c(1-t)^2+2(1-t)t√(cf)+ft^2
=(1-t)c+tf-t(1-t)(√c-√f)^2
≦(1-t)c+tf
=z

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)...続きを読む

Q凸集合の定義ってなんですか?

2題よろしくお願いします。
1.平面上の集合kが凸集合である定義を述べよ。
2.xy平面上の凸集合、凸でない集合をそれぞれ例示せよ。
この2題です。さっぱり分かりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

つまりy=xのような直線は凸集合
n角形で一つの辺が内側にはいりこんでいれば凸集合ではない。
ん?まてよ…
さらに盛った目玉焼きを上からだけみると凸集合だ。(へこみがない場合です)
しかし、横からみると凸集合ではない。
つまり、目玉焼きは3次元的にみると凸集合ではない。
どうも線形計画法の問題みたいですね。

Q凸集合での命題を証明したいのですが…

実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、
(1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。
(2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。

という命題を証明したいのですが滞ってます。

凸集合の定義は
「集合Sについて任意の2つのベクトル x,y∈S と正の実数s (0≦s≦1) について,
sx+(1-s)y∈S
が成立するとき,Sは凸集合であるという」
閉集合の定義は
「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」
コンパクトの定義は
「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」

(1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか?
そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?

Aベストアンサー

すみません,Aの定義に
-π/2 ≦ x ≦ π/2
を入れ忘れました.つまり,

A= {(x,y)∈R^2 |-π/2 ≦ x ≦ π/2, y ≧ |tan(x)|}

放物線みたいなのが一つあるだけです.

Q開球 凸集合 証明

以下の問題が分かりません。

a∈R^nとする。 B(a,ε)={x∈R^n|d(a,x)<ε}が凸集合であることを示しなさい。

任意のx,y∈B α∈(0,1)に関して(1-α)x+αy∈Bを示せばよいことはわかるのですが、具体的にどのようにすればよいかわかりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

うん, それはあさっての方向に突き進むね.

x, y ∈ B といっているんだから ||x-a|| < ε, ||y-a|| < ε はわかってる. ということで, z = (1-α)x + αy に対して z-a を (x-a) と (y-a) を使って書いてみよう. ねんのために書いておくと
(1-α) + α = 1
だね.

Q次の関数の組が線形独立であることを示してください。

次の関数の組が線形独立であることを示してください。

 (1) cosx, cos2x

 (2) x^2, exp(x), exp(-x)

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

丸投げするなら、少しは自分で鉛筆動かして考えろ。
(1)
任意の実数xに対して
acosx+bcos2x=acosx+b{2(cosx)^2-1}
=2b(cosx)^2+acosx-b=0とする。

2b(cosx)^2+acosx-bは2bt^2+at-b(-1≦t≦1)の2次関数とみなせるから
(a,b)≠(0,0)だとおかしいのは分かる。

(2)
任意の実数xに対して
ax^2+bexp(x)+cexp(-x)=0・・・・(1)とする。
xで3階微分して
bexp(x)-cexp(-x)=0 即ち bexp(2x)-c=0・・・・(2)となる。
(2)をもう一回さらにxで微分して
2bexp(2x)=0 を得る。このときどんな実数xに対してもexp(2x)>0よりb=0
よって(2)からb=c=0
さらにこれと合わせて(1)から任意の実数xに対してax^2=0 ⇒a=0である。
つまり(a,b,c)=(0,0,0)

Qシグマなど文字を含んだままでの微分の仕方

最適化問題では微分が使われますが、Σや掛け算を省略するπが含まれていることも多々あります。また、文字を含んだまま計算しなければならないと思いますが、微分をするときにΣとπをどのように扱ったらよいかわかりません。
省略されているものをバラバラにしないで計算する方法をΣとπを例にとって教えてください。

Aベストアンサー

和の方は、
d/dx{Σfi(x)} = Σfi'(x)
または
d/d xi {Σf(xi)} = f'(xi)
になります。
前者は例えば、
fi(x) = x^i
Σfi(x) = x + x^2 + ...
のような式を x について微分した場合で、後者は例えば
f(x) = x^2
Σf(xi) = x1^2 + x2^2 + ...
のような式を xi について微分した場合です。

積については
d/d xi Πfi(x) = Π[j≠1]f(xj) f'(x1) + Π[j≠2]f(xj) f'(x2) + ...
= ΣΠ[j≠i]f(xj) f'(xi)
または
d/d xi Πf(xi) = Π[j≠i]f(xj) f'(xi)
になります。
前者は関数の積の微分であり、後者は微分しない変数は定数として扱っています(この意味では偏微分です)。


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