数学の"見なす"について

タイトルの通り、数学の参考書で見かける"見なす"についての質問です。
例えば環A,Bが同型(A≅B)というのは、単に同値関係という事であって基本はA≠Bですよね。(そもそもA=BならA≅Bも言えるかと思いますが、今はそのような例は除きます)
だから、A≅Bだけではx∈A⇔x∈Bも言えないという事になるかと思うのですが、

ただ、BをAと見なすと言った場合、たいていの参考書はその後何も触れずx∈A⇔x∈Bを使った展開をしていますが、
それは「BをAと見なす」⇔「B=Aとする」としているという認識で合っていますでしょうか。

また、AとBが同型の時に、AをBと見なせない(A=Bとしてはいけない)ような例て何かありますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/02 07:51

A,Bが同型なら、AからBへの同型射が存在するわけです。

それをφとしましょう。このとき、x∈A⇔φ(x)∈Bですが、
同型ゆえ、φ(x)のBの中での振る舞いはxのAの中での
振る舞いと同じです。それを利用して、Bの元の名前を
一斉に付け替えて、φ(x)のことをxと呼ぶようにしよう
というのが、「BをAと見なす」の意味です。
A∩BやA∪Bを考える場合がある文脈でない限り、
Bがの各元の名前を付け替えても、Aには影響しません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/02 02:21

実際の文章を見てみないことには著者が何を思ってそう書いたのかわからん (なお見ればわかるとは言っていない).

と逃げをうっておいて.

きちんと書くなら全単射で対応させるところ, 「わかってるだろ」という前提で省略してるんじゃね?