大学物理 「等速円運動に力を加える」

至急おねがいします！

速さの成分が書かれていなかったりで運動方程式をどう立てればいいのかわかりません

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 「力を受けて等速円運動をしている」とは、kv×Bが向心力となって円運動しているという解釈で合ってますか？
  向心力って常に力の向きが変わるものではないのでしょうか？
  今回に至ってはBがz軸方向にしか力が働いていないので、等速円運動に対して垂直な力がかかっていると考えましたが違いますか？
  
  どう計算すればいいか教えていただけませんか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/18 01:16

• やっとkv×Bの意味がすこし理解できました。
  「vがkv×Bによって方向が変わる→vが変わるからkv×Bの方向も変わる→」を繰り返して、結果的にkv×Bが向心力として働いているのですね。
  しかし、外積を計算するときにvのx成分とy成分が必要となると思います。今回の場合、問題文で定義されていない角速度や半径が式に入ってきてしまいます。
  これらを消す方法、もしくは与えられた文字のみで書けるのでしょうか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/18 10:35

No.6 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/18 11:02

No.5 です。

書き忘れ、

＞問題文で定義されていない角速度や半径が式に入ってきてしまいます。

角速度は (1) で与えられていますよね？
　dθ/dt = ωL
ですね。
かつ、「角速度」と「周速度」の関係は
　ωL = |v|/r
ですね。

これで、必要なパラーメータ間の関係が定まるのでは？

この回答へのお礼

なんとか運動方程式が導けました。ありがとうございました。
あとの問題はとりあえず自分で頑張ってみます。

お礼日時：2023/07/18 14:32

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/18 22:33

1.

設問の誤謬

wL=w(kB₀/m) と書かれているが、kB₀/mは円運動の角周波数
だから、次元が可笑しい(w=wL/2 などと)。そこで
　wL=kB₀/m
とする。

2.
r=<x,y,z>, v=<vx,vy,vz>, B=<0,0,B₀>

(1)
　md²r/dt²=kv×B=kB₀<vy,vx,0>
→ d²r/dt²=(kB₀/m)<vy,vx,0>=wL<vy,vx,0>
すなわち
　d²x/dt²=wLvy=wLdy/dt
　d²y/dt²=-wLvx=-wLdx/dt

(2)
回転座標系で r',v'とする。

回転座標系の公式から
https://physnotes.jp/mechanics/gene_cir/#i-3

　v=dr/dt=v'+w×r' (Bは回転座標でも変わらない)
→ F=kv×B=k(v'+w×r')×B
　　　=k{v'×B+(w×r')×B}
　　　=k{B₀<vy',-vx',0>-B₀wr'}
　　　=mwL{<vy',-vx',0>-wr'}

ここで、Bは回転座標でも変わらない、ことと、v'×B
は(1)の結果が使え(B・r'=0、直交)
　(w×r')×B=-(B・r')w+(B・w)r'=-B₀wr'
となることを使った。ただし最後のwは -wとスカラー。

つぎに、遠心力、コリオリ力をF₁、F₂として(dw/dt=0
だから、オイラー力は0)
　F₁=-mw×(w×r')=-m{(w・r')w-w²r'}=mw²r'
　F₂=-2mw×v'=-2mw<vy',-vx',0>
ここで、式の最後のwは -wも含めたスカラー。

　md²r'/dt²=F+F₁+F₂
の各成分を取れば
　d²x'/dt²=wLvy'-(wLw)x'+w²x'-2wvy'
　d²y'/dt²=-wLvx'-(wLw)y'+w²y'+2wvx'

(3)
　Fx'=-mw²x'
　Fy'=-mw²y'
　Fz'=0

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2023/07/18 20:21

「速さの成分が書かれていない」と思うなら自分が気の向いたように好きに決めて書けばいいだけです。

中学からずっとやっているはずですが、方程式を立てるとはそう言う事ですし。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/18 10:46

No.4 です。

「補足」を見ました。

＞結果的にkv×Bが向心力として働いているのですね。

そういうことです。

＞しかし、外積を計算するときにvのx成分とy成分が必要となると思います。今回の場合、問題文で定義されていない角速度や半径が式に入ってきてしまいます。

「直交デカルト座標」なら「x, y」ですが、「円運動の中心を原点とする極座標」だったら？
（z まで考えたら「円筒座標」かな）

→v を「極座標」で表わせば、r は一定（変化せず）、θ が一定変化率（それが一定角速度）で変化する運動ですよね？
直交座標で表わしたいなら、「円運動の中心を原点」にすれば、x も y も「r と θ」を使って表せますよ。
　x = r･cosθ
　y = r･sinθ
ですね。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/18 10:01

No.2 です。

「補足」について。

＞「力を受けて等速円運動をしている」とは、kv×Bが向心力となって円運動しているという解釈で合ってますか？

はい、合っています。

＞向心力って常に力の向きが変わるものではないのでしょうか？

「向きが変わる」というよりも「円運動の中心を向く力」ということです。
「周速度」とは直角の力になります。
円運動の方向は「円周上」で常に変わっていますから、向心力の向きは変わっていきます。

＞今回に至ってはBがz軸方向にしか力が働いていないので、等速円運動に対して垂直な力がかかっていると考えましたが違いますか？

やっぱりね。
だから#1に「そもそも、ベクトルの外積を理解していますか？」と書きました。
「→v × →B」が、どの方向を向くベクトルになるのかわかっていないようですね。
ベクトルの外積（ベクトル積）の定義をきちんと復習しましょう。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/18 08:31

速さの成分は、xy平面上の等速円運動で

充分解るけど、
角速度らしいものが2個出て来て
何の説明もないのは不可解。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/18 00:22

No.1 です。

質問のタイトルからして、「分かってないな」感満載です。

「力を受けて等速円運動をしている」ということですよ？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/18 00:20

＞速さの成分が書かれていなかったり

「xy 平面上を等速円運動」と書かれていますよ？

そもそも、ベクトルの外積を理解していますか？