写真の数学の質問です。 (2)でなぜ、xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおけるのですか？ 例

写真の数学の質問です。

(2)でなぜ、xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおけるのですか？

例えば3という数字があったら
log₂3とおいても間違いですよね？

質問者からの補足コメント

• 例えば
  1.5　と　log₃5　の大小関係を示せと言われたとき、
  
  logic₃1,5とlog₃5を比較するのは間違いですよね？
  この差がよくわかりません

    補足日時：2023/09/01 00:35

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/01 14:37

y = log₂ x のグラフを知っていますか？

知らなければ、教科書で確認しましょう。
グラフは右上がりで、log₂ は単調増加な関数です。
だから、2^x = 3^y = 6^z であれば
log₂(2^x) = log₂(3^y) = log₂(6^z) になる。

対数法則
log₂(2^x) = x log₂ 2,
log₂(3^y) = y log₂ 3,
log₂(6^z) = z log₂ 6
は、必ず計算できなければいけません。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/01 05:49

1.5　と　log₃5　の大小関係を示せと言われたとき、

logic₃1,5とlog₃5を比較するのは間違いです

1.5　と　log₃5　の大小関係を示せと言われたときは、

log₃3^1.5とlog₃5を比較し

3^1.5 と 5 を比較するのです

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/01 01:03

＞1.5　と　log₃5　の大小関係を示せと言われたとき、

＞logic₃1,5とlog₃5を比較するのは間違いですよね？
＞この差がよくわかりません

y = f(x) = log[3](x)

としたとき、「x」と「y」の違いは分かりますよね？

x と log[3](5) を比べるのに、
y = log[3](x) と log[3](5)
を比べてもしょうがないよね？

「1.5　と　log₃5　の大小関係を示せ」といわれたら、例えば
　z = log₃5
とおけば、対数の定義から
　5 = 3^z
となる。
　3^1.5 = 3^(3/2) = (3^3)^(1/2) = √27
だから
　5 = √25 < √27 < √36 = 6
から
　3^z < 3^1.5
よって
　z < 1.5
つまり
　log₃5 < 1.5
と求まります。

同じ土俵に持ち込んで比較する。
上の場合には「対数」を「指数」の変換して同じ土俵にしている。
（上でやっていることは、1.5 = log[3](P) で「同じ対数の土俵」に変換してもよい）

同じ土俵に持ち込んだうえで「引き算して正か負か」とか「割り算して１より大きいか小さいか」などで大小を判定すればよい。
上のように「分かっている数値」をあてはめて「挟み込み」でもよいし。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/31 21:11

xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおいているのではありません

2^x=3^y=6^z
↓各辺のlog2をとると
xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6
が成り立つのです

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/31 17:04

No.1 です。

＞例えば3という数字があったら
log₂3とおいても間違いですよね？

「置く」ということではなく、「３」に対して「２を底とする対数」をとれば
　log[2](3)
になります。

同様に

2^x = 3^y = 6^z　　　①

に対して「各項の２を底とする対数」をとれば、同じ数の対数なのでそれぞれ等しく
　log[2](2^x) = log[2](3^y) = log[2](6^z)
となり、各々
　log[2](2^x) = x･log[2](2)
　log[2](3^y) = y･log[2](3)
　log[2](6^z) = z･log[2](6)
と変形できるので
　 x･log[2](2) = y･log[2](3) = z･log[2](6)
となります。

「置く」とかいう話ではなくて、「２を底とする対数をとる」、そして「それを変形する」ということで求める式が得られます。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/31 14:52

画像に書いてある通りなんですが、どこが分からない？

2^x=3^y=6^z この等式の 各辺の対数を取れば、
log(2^x)=log(3^y)=log(6^z) 指数は 前の出せるので、
底を 2 に統一して、
xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6 ですよね。
log₂²=1 ですから、y=x/log₂3, z=x/log₂6 となり、
(1/x)+(1/y)-(1/z) の式は x だけの式になりますね。
対数の基本の式で、この様な問題をやる前に 習った筈。

＞例えば3という数字があったら log₂3とおいても間違いですよね？

質問の 本意が分かりませんが、
等式があって その両辺を 対数で表すなら
この問題の様に 成り立つ場合が あります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/31 11:24

2^x = 3^y = 6^z = k　　　①

とおけば、対数の定義から
　x = log[2](k)　　　②
　y = log[3](k)　　　③
　z = log[6](k)　　　④
です。

これはさらに「底の変換」で、底を「２」にそろえれば
　y = log[2](k)/log[2](3)
　z = log[2](k)/log[2](6)
とおけますから、分母を払って
　log[2](k) = y･log[2](3) = z･log[2](6)
と書けます。

従って、②より
　x = y･log[2](3) = z･log[2](6)
です。

さらに
　log[2](2) = 1
なので、x の係数をこれで書けば
　x･log[2](2) = y･log[2](3) = z･log[2](6)
と書けます。

対数の基本を理解していますか？


＞例えば3という数字があったら
log₂3とおいても間違いですよね？

一体、何の話をしているのですか？