数学の質問です。どうしてもわからないのでしなおします。すみません。 log₂5と3の大小関係を求めよ

数学の質問です。どうしてもわからないのでしなおします。すみません。


log₂5と3の大小関係を求めよ

という問題で

log₂5とlog₂3を比べてもlog₂3=3ではないので無意味ということはわかります。

では、写真の問題のときxlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおけるのはなぜですか？
なぜ、各値にlog₂を入れてるのですか？


あと、log₂をとるってどういうことですか？
x^2=kとすると
logₓk=2ですよね？
どうやったらxlog₂2=ylog₂3=zlog₂6の形になるのですか？

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/01 14:54

0 < A = B であれば log A = log B が成り立ちます。

この性質を使って A = B という式を log A = log B へ変形することを
「両辺の対数を取る」と言います。
もとの等式に辺が 3つあれば、2^x = 3^y = 6^z の
「対数を取」って、log₂(2^x) = log₂(3^y) = log₂(6^z) です。
あとは、対数法則 log(a^x) = x log(a) から
log₂(2^x) = x log₂(2),
log₂(3^y) = y log₂(3),
log₂(6^z) = z log₂(6)　だから x log₂(2) = y log₂(3) = z log₂(6) ですね。
この式は、与えられた式 2^x = 3^y = 6^z を変形したもので、
勝手に「おいた」わけではありませんよ。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/01 13:39

2^x=3^y=6^z=2^k 　.......とおくのがポイントです！

ただし　kは0でないとおけるから順に対数の定義により
最初の項と最後の項から
k=log【2】2^x
2番目の項と最後の項から
k=log【2】3^y
3番目の項と最後の項から
k=log【2】6^z
まとめて
k=log【2】2^x=log【2】3^y=log【2】6^z

従って対数の真数の大小がそのまま大小となるから
log₂5と3の大小関係を求めよ
従って　3=log【2】2=log【2】2^3=log【2】8
故に　log【2】3<log【2】5<log【2】8= 3

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/01 11:25

何か 基本的な事を 間違って覚えていませんかね。

先日の質問の画像にも書いてあるように、
2^x=3^y=6^z の各辺を 底が 2 の対数に 変形すると、
log₂(2^x)=log₂(3^y)=log₂(6^z) となり 整理すると、
log₂2=1 ですから x=ylog₂3=zlog₂6 となるのです。

「xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおける」のではなく、
計算の結果 そうなる と云う事です。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/01 10:51

xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおいているのではありません

そこに

2^x=3^y=6^z(xyz≠0)のとき,1/x+1/y-1/zの値を求めよ
と書いてあるのだから

2^x=3^y=6^z
のとき
xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6
が
成り立つのです

2^x=3^y=6^z
↓各辺のlog2をとると
log₂2^x=log₂3^y=log₂6^z
↓
xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6
が成り立つのです

A=B
ならば
log_2(A)=log_2(B)
になるのです

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/01 10:18

＞では、写真の問題のときxlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおけるのはなぜですか？

何度も同じ質問をしていますが、その回答にもあるとおり「置いている」のではないのですよ。
自動的、機械的にそうなるのでなく、「対数の定義」に従って式を変形していくとそうなる、という「式の変形」なのです。

それを「機械的にそうできる公式や裏技があるに違いない」と思い込んでいるあなたが間違いなのです。

それをきちんと理解しないと先には進みません。


＞なぜ、各値にlog₂を入れてるのですか？

上に書いたように、与えられた関係式を「２を底にした対数」に変換しているからです。
単純にそうしているのではなく、「対数の定義」に従ってそのように「変換している、式変形している」ということです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/09/01 07:15

>log₂5と3の大小関係を求めよ

これを2の指数(2^xのx)とすると
2^Xは単調増加だからxのの大小関係がわかる。

2^(log₂5)=5
2^3=8
よって log₂5<3


>どうやったらxlog₂2=ylog₂3=zlog₂6の形

2^x=3^y=6^z

の全辺をその2の対数に置き換えただけ。
log₂も単調増加だから等号はそのまま
使って差し支えない。

log₂(2^x)=xlog₂2=x
は解るよね？

No.2 回答者： kenshiron 回答日時： 2023/09/01 07:02

log₂を取る(logに入れる)のは、底(=2)の何乗か？その乗数の値になります、という意味です。

例えば、log₂8は、8が底(=2)の3乗だから、3という値になります。
log₂8とlog₂5を考えると、自然数の比較であきらかにlog₂8の方が大きいです。
log₂5 < log₂8 = 3 のため、log₂5 < 3 で3が大きいと言えます。

No.1 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/09/01 06:33

解答を無視して私なりの解き方を書くと、

3=3log₂2=log₂8
となり、大小関係は明らかだと思いますが…