log n/n^δ(δ>0)→0(n→∞)を示すにはどうすれば良いですか？

log n/n^δ(δ>0)→0(n→∞)を示すにはどうすれば良いですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/23 21:46

δ>0

lim_{n→∞}(log n)/n^δ

0<x=log n
とすると
n=e^x
n^δ=e^(δx)
だから

lim_{n→∞}(log n)/n^δ
=lim_{x→∞}x/e^(δx)

e^(δx)>(δx)^2/2
だから
2/(δx)^2>1/e^(δx)
1/e^(δx)<2/(δx)^2
だから
x/e^(δx)<2/(xδ^2)
だから
0≦lim_{n→∞}(log n)/n^δ=lim_{x→∞}x/e^(δx)≦lim_{x→∞}2/(xδ^2)=0
だから
∴
lim_{n→∞}(log n)/n^δ=0

No.1 回答者： とぅとぅ 回答日時： 2021/12/23 20:56

δ>1 のとき、log n/n^δ→ ー　♾

δ=1のとき、log n/n^δ→0
0<δ<1のとき、log n/n^δ→♾